皮带传动拉力变化的微分方程及应用

王允地， 王稳地， 张航伟, 王良文

(1.陕西科技大学 机电工程学院, 陕西 西安 710021；2.西南大学 数学学院, 重庆 400715；3.郑州轻工业学院 机电工程学院, 河南 郑州 450002)

0 引言

文献[1]推导了不考虑皮带惯性力的拉力变化微分方程,文献[2]推导了只考虑皮带惯性力的拉力分布方程.本文把皮带微段的惯性力、压力、摩擦力和拉力综合起来考虑，建立皮带微段受力微分方程，导出了皮带拉力随包角的直接变化公式.

以此为基础，又给出了极限有效圆周力、初拉力及传递功率的理论值.结合皮带实际运行的疲劳循环应力、磨损和微振动等破坏因素，研究了给定标准三角带型号、带长、全包角及带轮直径后皮带实际传递功率随带速的变化规律.且讨论了三个计算实例.

1 皮带微段受力微分方程

如图1所示，对于皮带与小带轮处于临界摩擦的状态，以R表示小带轮半径，α表示皮带全包角，q表示皮带线密度，v表示带速 ,f表示皮带与带轮间的摩擦系数，F1表示紧边拉力，F2表示松边拉力，θ表示研究点包角，F表示研究点拉力，而以dθ表示研究段包角微分.

皮带微段离心力dG等于微段质量与微段向心加速度的乘积，即

(1)

带轮对皮带微段的压力dN则为

dN=Fdθ-dG=(F-qv2)dθ

(2)

图1 皮带微段受力图

微段拉力微分dF则是摩擦系数f与微段压力dN的乘积

dF=fdN=f(F-qv2)dθ

(3)

由此得到拉力F对包角θ的导数为

(4)

2 皮带拉力随包角的变化公式

由于qv2为常量，因此有

(5)

从而由初始条件

θ=0，F=F2

(6)

得

F-qv2=(F2-qv2) efθ

(7)

再由边界条件

θ=α，F=F1

(8)

得

F1-qv2=(F2-qv2) efα

(9)

3 有效圆周力及初拉力

极限有效圆周力Fe为按以上方法算出的紧、松边拉力之差，即

Fe=F1-F2=(efα-1)(F2-qv2)

=(1- e-fα)(F1-qv2)

(10)

而皮带初拉力F0与工作时的紧松边拉力F1、F2的关系仍为

F1+F2=2F0

(11)

因此由(10)式推得初拉力与极限有效圆周力间的关系为

(12)

及

(13)

4 传递功率

4.1 理论值

仅从短时稳态受力上看，皮带拖动负载运行时，只有紧边拉力F1受到一定限制.皮带能传递的功率P等于极限有效圆周力Fe与带速v的乘积，即

P=FeV=(1- e-fα)(F1-qv2)v

(14)

4.2 带速较小时的修正值

(15)

令

P*=(1- e-fα)F1V0

(16)

且已知v等于V0时，能传递的功率为P0,故有

P0=P*-(1- e-fα)qV03

(17)

从中解出

P*=P0+(1-e-fα)qV03

(18)

这样，便得到带速较小时，单根皮带所能传递的功率随带速v的变化公式为

(19)

4.3 超过临界带速时的修正值

当带速v超过某一临界值Vl后，皮带使用期内的应力循环次数大量增加，接近于持久极限次数，上式中的(1-ε)不再为常数，而是按幂函数规律逐渐上升.若已知该临界带速Vl对应的(1-εl)及最大带速Vm对应的(1-εm)值，且对比中间数据取定指数δ，单根皮带所能传递的功率的公式(19)中的(1-ε)随带速V变化的修正式为

(20)

5 标准V型带计算实例

5.1 A型三角带计算实例

文献[3]已经给出了带长为1 700 mm的标准A型三角带，在小带轮直径为100 mm，皮带全包角α为π的情况下，单根皮带所能传递功率P随带速v变化的实测数表，如表1所示.其中的带速v从 1 m/s 到 30 m/s，共给出了17组数据, 最小带速V0即为1 m/s.

标准A型三角带的线密度q等于 0.1 kg/m，与金属接触的摩擦系数f为 0.4，安装在带轮上的当量摩擦系数fv为1.2.从表1看出，最小带速V0等于1 m/s 时，单根带能传递的功率P0为 250 W .以当量摩擦系数fv代替f，并将该组数据代入公式(18)，得P*=250.097 7 W; 而(1- e-fα)qV03=0.097 7 W.

经与v大于1 m/s 后的数据分析对比，取ε等于 0.15，τ等于 0.1 ，Vl等于15 m/s，由(19)式得出v≦15 m/s时，单根带传递功率P的算式为

P=250.097 7v0.85-0.097 7v3.1

(21)

再由Vl等于15 m/s时的实测功率2 070 W 及Vm等于30 m/s 时的实测功率1 960 W , 从(19)式推得εl=0.15，εm=0.083，并对比中间数据取(20)式中的δ=1.2.据此得到v≧15 m/s时，单根带传递功率P的算式为

P=250.097 7v(1-ε)-0.097 7v3.1

(22)

其中

(23)

根据(21)及(22)式算出的带长 1 700 mm、带轮直径100 mm、全包角α为π的单根A型标准三角带传递功率值在表1的下边一行.绘出的带速v、功率P曲线如图2所示.

就一般情况而言，适当初取τ及Vl，从实测表中查出对应的功率Pl，代入(19)式，便可反求出εl，使区间内的计算值与实测值尽可能接近.类似的也可由(19)式反求出εm，并对比中间数据由(20)式选取δ值.

表1 A型三角带传递功率实测值与计算值表

从表1看出，按本文公式得出的计算功率与实测功率相差不大.

图2 A型带传递功率P随带速v的变化线图

5.2 包角为π的C型三角带

根据文献[3]给出的带长为3 775 mm,包角为π，带轮直径分别为200 mm、224 mm、250 mm及280 mm的C型三角带的传递功率数表，按本文方法绘出的传递功率P随带速v的四条变化曲线如图3所示.

图3 包角为π的C型带传递功率P随带速v的变化线图

5.3 包角为2π/3的C型三角带

对于小带轮包角α小于π的情形，随着包角的减小，实际拉力变化的不均匀性增加，弹性滑动也增加，应将(15)式及(19)式中的α换成π，再乘以包角系数kα进行修正.根据文献[3]给出的包角系数表，我们推出kα的计算公式为

kα=(1- e-fα)/(1- e-fπ)

(24)

据此绘出带长为3 775 mm,包角为2π/3，带轮直径分别为200 mm、224 mm、250 mm及280 mm的C型三角带的传递功率P随带速v的四条变化曲线如图4所示.

图4 包角为2π/3的C型带传递功率P随带速v的变化线图

另外，当带的长度改变时，应给算出的功率值再乘以长度系数kl做修正,其值可在文献[3]的表6-5中查出.而小带轮包角α小于π时，大带轮包角会随之增大，大带轮直径和机构传动比i也随之增加，皮带绕在大带轮部分的弯曲应力将随之下降，单根带能传递的功率则产生一部分增量ΔP,其值可按文献[6]中的公式4-55算出.

对于标准三角带预紧力F0的控制问题，可按文献[1]给出的表8-11进行.

包角为π的标准带能传递的功率随带轮直径及转速的变化数表见文献[4]和[5].皮带动力学问题的详细分析见文献[7]和[8].

6 结论

(1)由微分方程和拉力公式得知，皮带传动的紧松边拉力、极限有效圆周力及预紧力之间的关系由小带轮包角、皮带与带轮间摩擦系数、皮带节面线速度及皮带线密度所决定.带轮直径也对能传递的功率有影响.

(2)现有文献给出的长度特定而包角为π的单根标准三角带传递功率随带速的变化数表中，有一个最小带速V0及最大带速Vm, 且在两者之间存在着一个临界带速Vl.带速在V0及Vl之间变化时，传递功率修正式中的两个修正指数均为常量；带速在Vl及Vm之间变化时，传递功率修正式中前边一项中的修正指数则随带速的变化而变化.传递功率曲线还在Vl及Vm之间取极大值.

(3)包角系数修正式中的修正指数一直为1.1.

(4)对于标准窄V带传动，可按本文方法类似地加以研究.

[1] 濮良贵,纪明刚.机械设计[M].北京：高等教育出版社，1996:144-170.

[2] 王宁侠,魏引焕.机械设计基础[M].北京：机械工业出版社，2005:95-110.

[3] 尚久浩.轻工机械设计基础[M].北京：中国轻工业出版社，1994：102-131.

[4] 尚久浩,郑甲红.机械设计基础[M].西安：西北大学出版社，2001：89-105.

[5] 陈晓南,杨培林.机械设计基础[M].北京：科学出版社，2007：295-311.

[6] 陈秀宁.机械基础[M].杭州：浙江大学出版社，1999：135-146.

[7] R.L.Norton著，陈立周译.机械设计：机器和机构综合与分析[M].北京：机械工业出版社，2003：235-256.

[8] 吴宗泽.高等机械设计[M].北京：清华大学出版社，1991：225-229.