数学教学目标再思考

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(人民教育出版社 北京 100081)

数学教学目标再思考

●章建跃

(人民教育出版社 北京 100081)

0 引子

科学、合理地制定数学教学目标，是提高数学教学质量的首要条件.我们曾在许多场合讨论过如何制定课堂教学目标的问题.当前，以知识与技能、过程与方法、情感态度价值观分类呈现课堂教学目标成为一种时髦.在某些地区，甚至作为教学基本功、日常教学规范，用“准文件”的形式作出“规定”，要求教师在课堂教学设计时用“三维目标”表述，否则就是“不合格”.例如，下面是2位教师给出的“方程的根与函数的零点”的教学目标(来源于“第5届全国中青年数学教师优质课观摩与评比活动”教学设计)：

教师L

知识目标理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在”的判断方法，对新知识加以应用.

能力目标渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想.

情感、态度与价值观目标认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.

教师Z

知识与技能

(1)结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

(2)结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

(3)结合几类基本初等函数的图像特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.

过程与方法

(1)通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；

(2)通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；

(3)通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；

(4)通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力.

情感、态度与价值观

(1)让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

(2)培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；

(3)使学生感受学习、探索并发现的乐趣与成功感.

2位老师给出的课堂教学目标，虽然在形式上有些差异，但问题是共同的：目标分类混乱、不准确，条目繁琐(教师Z给出了10条目标)，表达不确切，空话、套话连篇，对课堂教学活动的定向功能太弱，等等.

笔者认为，出现这些偏差的主要原因是大家对数学教学目标不重视，没有投入必要的时间和精力进行深入思考，许多教师因为不知该如何区分“三个维度”，只能从参考资料中“抄目标”，再加上某些部门缺乏认真研究，盲目提出强制执行的不正确“规定”，在教学实践中出现“教学目标混乱”是必然的.由此导致的结果是，课堂教学失去基准和方向，没有一以贯之的思想主线统领课堂，教师的教学行为随意性很大，课堂中“无效劳动”很多，学生负担沉重学习效果不佳.因此，为了提高数学课堂教学的质量和效益，必须对数学教学目标进行澄清认识，提高制定数学教学目标的水平.

1 数学教学目标的层次性

数学教学是为了达到一定的目标而进行的.因此，在具体实施课堂教学之前，清楚地知道目标是非常重要的.在数学教育、教学实践中，我们经常可以看到“教育目的”、“教育目标”、“培养目标”、“课程目标”、“教学目的”、“教学目标”杂乱使用的现象.但这些概念实际上是既有联系又有区别的.

一般而言，我们可以按“教育目的—课程目标—教学目标”的层次来区分这些术语.

1.1 教育目的

“目的”一词常与目标、结果、意图等术语混用，但它们的含义是有区别的.“目的”是总的表述，它为指向某种未来结果的具体行动提供了框架和方向.因此，教育目的是培养人的总目标，其核心是对培养什么样的人作出规定，即把学生培养成怎样的社会角色.教育目的具有历史性，这是时代发展对人才不同需求的反映.同时，它还具有一般性、概括性和抽象性，是对学生在德、智、体、美等诸方面发展的总体规格要求.

按照《教育法》的规定，我国现阶段的教育目的是：“培养德、智、体等方面全面发展的社会主义事业的建设者和接班人”.它反映了我国当代社会对受教育者的要求，是学校教育工作的总体目标.因此，整个基础教育阶段的各门学科都应以此为出发点和最终目标.确定中学数学课程目标和数学教学目标也应以此为根据.

1.2 数学课程目标

通俗地讲，数学课程目标就是我们想让学生通过数学学习而到达的那个“目的地”.它指出了学生达成目标时的数学水平、思维能力、行为习惯等特征，但并不具体指明特定的学习.例如，在教育目标中，“德育”被规定为要使学生具有公民意识，树立自由平等、民主法治、公平正义等理念，落实在数学课程目标中，就是要使学生能熟练地运用批判性思维，养成理性精神；又如，“智育”被规定为要使学生在掌握文化知识的同时，提高学习能力、实践能力、创新能力，能做到学以致用，为主动适应社会做好准备等，落实在数学课程目标中，就是要使学生在获得数学基础知识、基本技能的同时，提高思维(特别是逻辑思维)能力，培养数学地提出、分析和解决问题的能力，提高数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力等.

与“目的”不同，通过分析数学课程目标，可以确定学校数学教育的范围.“目标”是一种特定的书面陈述，具有定向功能，它为数学课程和教学提供了关于所要完成任务的明确陈述.在我国现行高中数学课程标准中，课程目标以“总目标+具体目标”的方式呈现，并指出“本标准的目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观”.因此，“三维目标”实际上是中学数学课程目标的整体设计思路，是任何数学学习过程中都要涉及的3个心理维度，但不是教学目标的维度.

1.3 数学教学目标

数学课程目标为数学教学规定了明确的方向，但它是宏观方向，属于观念层次，它们在代数、几何、统计与概率等课程的教学中都要得到反映.当课程目标具体化到特定的数学内容时，就是教学目标.

需要特别注意的是，教学目标也有层次性.高中数学教学目标可以分为：分科(代数、立体几何、解析几何、统计与概率等)教学目标、章节教学目标和课时教学目标等.这种层次性表明了将数学课程目标逐步转化为具体教学目标的过程.在这个过程中，我们先从一般的观念层次入手，制定一个数学教育的总体框架，再转向较为具体的、以内容为载体的短期结果的描述.通过这样的转化，使目标落实在具体内容的教学中，从宏观到中观再走向微观，使抽象观念变为具体可操作的行为.

2 数学教育的“目标系统”

综上所述，我们把“教育目的”作为中小学数学教学的总体指导思想，中学数学教育的“目标体系”可以表示为一个从抽象到具体的连续体.这个连续体包括如下几个层次的目标.

2.1 数学课程目标

这是宏观目标，是需要付出大量的时间和精力、经过长期努力才能实现的学习结果，它包含着多方面的、更为具体的目标.例如，“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力”，“提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力”，“发展数学应用意识和创新意识”，“提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度”，“认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义”等，都是课程目标的例子.

2.2 单元教学目标

单元教学目标属中观目标，用于计划需要一定时间(几周或几个月)学习的教学内容，是课程目标的具体化.例如，“通过学习基本初等函数，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，能运用函数思想和方法解决数学和现实生活中的简单问题”就是一个单元目标.它包括了概括性的论题(如函数模型、函数思想和方法等)、涵盖了多个具体学习任务(如指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等)和模糊的认知过程(如感受、体会、解决)，是“提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力”，“发展数学应用意识”，“认识数学的科学价值、应用价值”等的具体化.

单元大小要视内容而定，单元之间可以有一定的包含关系.通常，一个大单元需要分解为几个小单元.例如，在“解析几何”这一大单元下，可以分解为“直线与方程”、“圆与方程”、“圆锥曲线与方程”等小单元.每一个小单元的教学目标都要给出特定的学生行为和该行为所针对的内容主题，但这些目标又是大单元的教学目标的具体化.例如，上述“解析几何”的小单元的教学都要体现“理解‘坐标法’和数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，培养运动变化、对立统一、相互转化等辩证唯物主义观点”这一解析几何的教学目标.

2.3 数学课堂教学目标

这一层次的目标是目标系统中最具体的，是微观目标.它专注于具体内容的学习，只处理细节问题，在计划日常教学中发挥作用.因此，数学课堂教学目标要强调“具体化”、“可操作”、“可检测”，经过课堂教学能看得见学生的变化.

3 如何制定课堂教学目标——以“曲线与方程”为例

根据上述数学教学目标的层次观，数学课堂教学目标要强调具体性、可操作性，而且是可检测的.不过，这样的要求可能会导致教学目标的立意不高，缺乏必要的思想性.因此，制定课堂教学目标时，应在数学课程目标的指导下，综合考虑单元教学目标、当前教学内容的特点和学生的具体情况.课堂教学目标应以数学知识和技能为载体，在教学过程中开展数学思想方法的教学，促使学生的数学思维能力、理性精神得到潜移默化的发展.只有在了解学生的认知准备状况，正确理解教学内容、深入挖掘数学知识蕴含的价值观资源的基础上，才能制定出恰当的课堂教学目标.下面以“曲线与方程”为例，说明如何制定课堂教学目标.

3.1 课程目标

数量关系与空间图形是数学的2大研究对象.解析几何是用代数方法研究图形的几何性质，它所体现的数形结合思想，使代数与几何水乳交融、相辅相成、相得益彰，不但促进了两者的极大进展，而且使微积分的创立变得水到渠成.解析几何的学习，核心是要学会用“坐标法”解决问题，并在学习过程中体会数形结合思想.因此，解析几何的课程目标是：

(1)在平面直角坐标系中建立直线、圆和圆锥曲线的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系；

(2)体会数形结合的思想；

(3)初步形成用代数方法解决几何问题的能力.

3.2 单元目标

本单元是在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.具体目标是：

(1)圆锥曲线.

①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质;

③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质;

④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题;

⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.

(2)曲线与方程.

结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想.

3.3 课堂教学目标

(1)教学内容分析.

由上述课程目标和单元目标可知，学生通过解析几何的学习，不仅要掌握直线、圆、圆锥曲线等曲线的方程，能应用它们解题，而且要在一般意义上理解曲线与方程的关系，即“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，体验“数”与“形”的转化与结合，认识解析几何的基本思想方法.为此，教材在“圆锥曲线与方程”之前安排“曲线与方程”一节.本节具有承上启下的作用，在已有“直线的方程”、“圆的方程”的基础上，从特殊到一般，引出一般意义上曲线与方程的关系，介绍“求曲线的方程”的通法，为学习圆锥曲线等储备理论基础.

解析几何的核心思想是“坐标法”.在直角坐标平面上，点用坐标(x，y)表示；曲线是满足一定几何条件的点的集合，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的二元方程F(x，y)=0表示；用代数方法研究F(x，y)=0的性质，再将代数结果翻译为几何语言而得出曲线的性质.因此，曲线与方程之间必须具有等价关系，这样才能保证通过研究方程得到的性质一定是曲线的性质.这里，我们面临2个数学对象：曲线C和方程F(x，y)=0.如果曲线上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解(完备性)，以方程的解为坐标的点都在曲线上(纯粹性)，那么就称F(x，y)=0为曲线C的方程，称C为方程F(x，y)=0的曲线.

“曲线的方程”、“方程的曲线”是公认的教学难点，这是数学演绎体系的直接反映.此前，学生尚未接触过类似概念，他们对为什么有这个概念、为什么要这样定义、定义的合理性等都可能心存疑惑.为了化解这种疑问，教材采用了“归纳—演绎”的模式，即借助学生对直线与直线的方程、圆和圆的方程概念的已有认识，引导学生对两者之间的关系进行辨析、概括，通过从特殊到一般的推广，归纳得出“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念；再借助正例、反例，从正、反2个方面加深对概念的理解.

顺便提及，“归纳—演绎”的模式是揭示概念本质的有效方法，是概念教学的“基本套路”：从学生熟悉的典型事例中，概括得到新概念的本质特征，再通过推广而归纳出具有一般性的概念定义，然后通过正例、反例辨析概念，并通过简单应用加深对概念的理解，并建立用概念进行判断的基本“操作步骤”.这样做，不仅符合学生的认知规律，而且反映了数学概念的发生发展过程，是水到渠成的.这里，在得到新概念的同时，还将“直线的方程”、“圆的方程”纳入到“曲线的方程”这个一般概念之中.

(2)“曲线与方程”的教学目标(2课时).

基于上述认识，将单元目标“结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想”具体化为：

①学生能借助曲线及其方程的具体实例(包括正例和反例)，解释“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义；

②学生能根据简单曲线的几何特征求曲线的方程，并能说明其中的基本步骤；

③在求简单曲线的方程的过程中，体会坐标法的基本思想.

3．4 制定课堂教学目标的几点注意

课程目标、单元目标是由课标给定的.为了有效地实施课堂教学，教师必须将它们具体化，自己制定出一系列更具体的课堂教学目标.制定时需要注意以下几个问题：

(1)目标指向学生的变化.

教学目标是学生要到达的“目的地”，不是教师的教学程序或活动安排，因此必须指向学生的学习结果——通过教学，学生要达到的双基、能力和态度的变化.由于“使学生掌握求曲线的方程的基本步骤”、“培养学生的数形结合思想”等表述，指向了教师计划做的事情，因此是不正确的.

(2)与教师教的任务和学生学的任务相区别.

教师教的任务、学生学的任务是达成教学目标的载体，不是教学目标本身.任务的完成并不一定意味着目标的达成.例如，“教给学生求曲线的方程的一般步骤”、“让学生学习曲线的方程和方程的曲线的概念”等，都只给出了“任务”而不是要达到的“目标”.

(3)与内容紧密结合，避免抽象、空洞.

从属于数学能力、理性精神的教学目标，往往要通过不同内容的学习，经历较长时间才能实现.这样的教学目标，在表述时容易脱离内容，失之于千人一面、抽象空洞.例如，“培养抽象概括能力”、“培养数形结合思想”、“养成辩证唯物主义观点”等.在制定课堂教学目标时，一定要注意根据内容特点，反映出当前内容在促进学生数学能力和理性精神的某个角度或层次的目标要求.

(4)目标表述要明确.

表述教学目标，就是要指明学生通过学习而产生的变化，以便设计一定的教学活动来达到目标.明确表述的目标为教学指明了方向.

一个目标包括一个动词和一个名词.动词一般描述了预期的学习过程，而名词则给出了预期学生掌握的知识.必须注意，一个目标不能含有不同层次结果.例如，“理解、记忆曲线的方程的概念，并能灵活应用这一概念求曲线的方程”，其中“记忆”、“理解”和“灵活应用”是不同层次的结果.这样的目标应进一步分解，使一个目标只包含一个结果.

以上我们讨论了数学教学目标的层次性，以“曲线与方程”概念为例，介绍了制定课堂教学目标的一般过程，并提出了需要注意的几个问题.当前，教学目标的制定中存在的最大问题是混淆课程目标和课堂教学目标的关系，缺乏单元目标的中间过渡，课堂教学目标不具体、难落实.这些问题需要多方人士的共同努力才能得到解决.制定课堂教学目标是一项专业性很强的工作，是教师专业化发展的重要抓手.本文的讨论是初步的，期待能抛砖引玉，特别希望一线教师的出色工作.