教会学生使用解决动态圆问题的利器：圆规和硬币

2012-01-23徐展

物理通报 2012年9期

徐展

(常州市第二中学江苏常州 213000)

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动是高中物理常见的题型，如果能作出粒子在磁场中运动的轨迹，据轨迹定圆心，几何关系找到半径，这类问题往往就解决了．但要作出运动轨迹，粒子进入磁场的入射点、入射速度方向以及由入射速度大小、比荷、磁感应强度决定的轨迹圆半径就得确定，否则轨迹不确定，而这种轨迹不确定的带电粒子在磁场中运动的问题，就是近几年高考考题中时有出现的“动态圆”问题.教师在讲解这类问题时往往会在黑板上画若干个圆，技巧高者徒手画，技巧不够高者借助工具画；也有教师利用Flash、几何画板等软件制作动画演示．运用这些教学手段往往只能让学生“听懂”，并不能让学生“会做”，在笔者看来，要让学生学会做这类问题，关键是教会他们使用解决动态圆问题的利器：圆规和硬币．

1 平移硬币解决仅入射点不定的动态圆问题

【例1】(2007年高考四川卷第21题)如图1(a)所示，长方形abcd的长ad=0.6 m，宽ab=0.3 m，O，e分别是ad和bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B=0.25 T．一群不计重力、质量m=3×10-7kg，电荷量q=+2×10-3C的带电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直于ad方向且垂直于磁场射入磁场区域

A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边

B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边

C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边

D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边

图1

解析：计算粒子的运动半径为0.3 m，恰好和磁场边界圆半径相同．取一枚硬币，若硬币半径和题图中给出的磁场圆半径不同，可重新作图，使新图中磁场圆半径等于硬币半径．现将硬币右边缘与磁场圆重合，然后将硬币向上平移，按硬币右边缘作出若干圆弧，如图1(b)，圆弧与磁场圆交点即粒子的出射点，过出射点作圆弧切线得粒子出射速度方向，可以判断选项D正确．

小结：解决轨迹圆半径确定、入射方向确定、仅入射点不确定的动态圆问题，平移硬币作几个圆或几段圆弧即可．在课堂教学中，教师可以用硬纸板剪成大小适中的圆(笔者用圆半径15 cm)，用该纸板圆替代学生手里的硬币，在黑板上演示如何平移；有条件的学校还可以用实物投影仪直接演示如何平移硬币．

2 用圆规解决仅半径不定的动态圆问题

【例2】(2010年高考全国卷Ⅱ第26题)图2(a)中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里．图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里．假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域．不计重力．

(1)已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；

(3)若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达．

图2

小结：解决入射点、入射方向确定，仅半径不确定的动态圆问题，找到圆心组成集合，用圆规按半径从小到大的顺序作几个圆或几段圆弧就能找到解题思路．有些学生可能可以直接找到半径最小或者最大对应的临界情况，但是对于大多数初次接触这类题目的学生，用圆规作半径逐渐增大的圆有助于顺利地找到临界情况，从而确定临界条件．