摆角、摆长和摆锤大小对摆的周期影响研究

彭金松，李金舟

(河池学院 物理与电子工程系，广西 宜州 546300)

摆角、摆长和摆锤大小对摆的周期影响研究

彭金松，李金舟

(河池学院 物理与电子工程系，广西 宜州 546300)

采用理论分析和实验研究相结合的方法，分别研究了摆角、摆长和摆锤大小对摆的周期的影响。在摆角小于5°、摆长在1 m左右和摆锤半径较小时，并忽略空气阻力的情况下，两种理论方法计算的结果与实验测量结果相一致，可把这种摆当作单摆来处理。

单摆;周期;摆角;摆长;摆锤

0 引言

其中，l为摆长，g为重力加速度。但这个公式只适用于小摆角(θ0≤5°)的情况。若要研究大摆角(θ0超过5°时)的情况则要用近似解法推导的周期公式［2］

单摆是研究简谐振动的典型例子，它是由一根上端固定的不计质量、不可伸长的细线，下端悬挂一可以看成质点的小球组成的装置。其周期公式［1］为

该公式简洁、实用、精确度高。对于单摆的教学研究来说，它物理意义明确，在0°≤θ0≤90°范围内误差不高于10－4数量级，用于研究单摆的摆角、摆长和摆锤大小对周期的影响十分理想。

1 摆角对周期的影响

在理论计算单摆的周期时通常把单摆摆动的角度限制在小于5°范围内，只有这样单摆的运动才可以近似地认为是简谐振动［3，4］。如果超出这个小角度限制，单摆的运动方程将成为非线性微分方程，不可能简单地利用微积分基本定理来精确求解［5］。要求解大角度情况下单摆的周期就需要相应的公式。现取摆角在3°到30°间的若干值分别用公式(1)和公式(2)进行计算，所得结果如表1的第二列和第三列。这里取l=1.00 m，g=9.8 m/s2，π =3.14。

在相同的条件下，用实验方法对摆的周期进行实验测量，对于每一摆角用秒表测量连续摆动50个周期所用的时间t，并用T'=t/50求出周期，共测量3次求其平均值。不同摆角下周期的测量结果如表1第四列。表1中的第五列是公式(2)的结果与公式(1)的结果的差，第六列是实验结果与公式(1)的结果的差。

表1 不同摆角下摆的周期的理论计算结果和实验测量结果

从表1可以看出，随着摆角的逐渐增大，用公式(1)计算的结果是不变的，因为此公式与摆角无关，而用公式(2)计算的结果和用实验得到的结果是逐渐增大。摆角小于6°时，公式(1)的结果与公式(2)的结果相等或相差很小，但随着摆角逐渐增大，两式的计算结果相差就越来越大了。这时用公式(1)计算其周期是比较精确的，这就符合了用公式(1)计算单摆周期时要使摆角小于5°的要求。实验的结果是总体偏大，在摆角为3°、4°度时，偏大了0.008 s，在更大摆角时偏大值就更大一些。我们认为，这个偏大是由于实验时是在空气中进行的，摆的摆动受到空气阻力的影响导致变慢了一些，如果去除这个影响，在小摆角时其结果与公式(1)和公式(2)的结果就很接近了，但在大摆角时，其结果就更接近公式(2)的结果。因此，在小于5°的小摆角情况下，用公式(1)来计算是准确的，在大摆角时，就得用公式(2)来计算了。

2 摆长对周期的影响

根据前面分析可知，在摆角为5°以内的单摆最为理想，所以在分析摆长对单摆周期的影响时取θ0≤5°.现取g=9.8 m/s2，π=3.14，分别对多种摆长的摆分别用公式(1)和公式(2)计算其周期，所得结果如表2第二列和第三列所示，再用实验方法得到的结果如表2第四列所示。表2中的第五列是公式(2)的结果与公式(1)的结果的差，第六列是实验结果与公式(1)的结果的差。

表2 不同摆长下摆的周期的理论计算结果和实验测量结果

从表2中可知，随着摆长的增大摆的周期也随之增大。公式(2)的结果与公式(1)的结果在各种摆长时均相差0.001 s，由这两个公式的关系也可得到此结果。实验结果在摆长为1.0 m时与公式(1)的结果更接近，另外在摆长较大时也与公式(1)的结果更接近，这就告诉我们，在做单摆实验时，通常用摆长1.0 m是合理的，得到的实验结果与理论结果相差较小。

3 摆锤大小对周期的影响

若摆的摆锤的半径为r，摆线长为l0，我们知道摆的摆长严格来说应为摆锤的半径与摆线长度之和，即l=r+l0.

现取摆角 θ0=5°，则有 T=1.000 471 901T0.若 g 取9.8 m/s2，π 取 3.14，摆长为 l0=1.0 m 保持不变。在不同的摆锤半径r下代入周期公式中进行计算。公式(1)的计算结果和公式(2)计算的结果分别列于表3中的第三列和第四列，用实验方法测得的结果列于表3的第五列。表3中的第六列为公式(2)的结果与公式(1)的结果的差，第七列是实验结果与公式(1)的结果的差。

表3 不同摆锤半径下摆的周期的理论计算结果和实验测量结果

从表3可知，随着摆锤半径的增大，T0与T由于摆长l0保持不变并没有增大或减小，也就是说摆锤半径的改变对于周期的理论计算没有影响。但实验结果则随着摆锤半径的增大而增大，这是由于摆锤半径的增大，摆球在空气中摆动时阻力增大，使得周期变大。故在空气中做单摆实验时，摆锤的半径越小越好。

4 结论

通过以上对摆的周期的理论分析与实验研究，我们发现，摆的周期与摆角的大小、摆线的长度和摆捶半径有关。在摆角小于5°、摆长在1.0 m和摆锤半径较小时，并在忽略空气阻力的前提下，两种理论方法计算的结果与实验测量结果是一致的，这就说明在这样的情况下可以把摆当作单摆来处理，这种摆就是单摆，在计算其周期时就可以用单摆的周期公式来计算。

［1］漆安慎，杜婵英.力学(第2 版)［M］.北京:高等教育出版社，2005:289.

［2］谢翔东.单摆运动周期的近似解［J］.内蒙古农业大学学报，2003，24(4):110－112.

［3］中国社会科学院语言研究所词典编辑室.现代汉语词典［M］.北京:商务印书馆，1995:340.

［4］霍恩比.牛津高阶英汉双解词典(第4版)［M］.李北达，译.北京:商务印书馆，1997:318－319.

［5］罗勇锋，龚志强，李水.大幅度摆动单摆的高精度周期公式研究［J］.科技咨询导报，2007，(28):143－145.

Study of the Main Factors Which Influence the Period of Pendular Oscillation

PENG Jin-song，LI Jin-zhou
(Department of Physics and Electronic Engineering，Hechi University，Yizhou，Guangxi 546300，China)

This paper analyzes the period of pendular oscillation by physical theory，and makes experiments to observe the pendulum.As a result，we found the main factors influencing the period of pendular oscillation are the length，the angle and the volume of the pendulum.The computations by two different theories are consistent with the results measured by experiments if the pendular angle is smaller than 5°，the pendular length is about 1m，the pendular volume is comparatively small，and the aerodynamic drag is ignored.In this condition we consider the pendulum is a simple pendulum.

simple pendulum;period;pendular angle;pendular length;pendular volume

O321

A

1672－9021(2011)02－0026－03

彭金松(1963－)，男，广西藤县人，河池学院物理与电子工程系教授，主要研究方向:原子核物理和粒子物理。

广西高校精品课程(桂教高教〔2007〕111号)。

2011－03－30

［责任编辑 刘景平］