关于r次可加补数的一些复合函数的均值性质*

金 晶， 朱伟义

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

定义［10］设r≥2为任意给定的正整数．一完全r次幂的最小非负整数，则称可加补数，即

1 预备知识

首先给出一些主要结果证明中需要用到的引理．

引理1［1］设k为给定的正整数，则对任意的实数x＞1，有渐近公式

引理5 设h(n)为非负的算术函数，且h(0)=0，给定正整数r≥2，则对任意实数x≥1，有渐近公式

其中:

引理5证毕．

2 主要结果

定理1 设k为给定的正整数，则给定正整数r≥2，对任意实数x≥2，有渐近公式

证明 对任意的实数x≥2，设M为一个固定的正整数，且满足

因为

因此，

所以，结合式(5)和式(6)可得

由式(4)和式(7)可得

定理2 设k为给定的正整数，则给定正整数r≥2，对任意实数x≥2，有渐近公式

证明 类似于定理1的证明，根据ar(n)和V(n)的定义及引理5，并利用估计式V(n)≪nε(ε为任一固定的正数)，得

由式(8)和式(10)可得

定理3 给定正整数r≥2，对任意实数x≥1，有渐近公式

结合式(6)和式(12)可得

由式(11)和式(13)易知

定理3证毕．

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