多元函数有无穷多个驻点时的极值问题

王积建

(浙江工贸职业技术学院基础部,浙江温州 325003)

多元函数有无穷多个驻点时的极值问题

王积建

(浙江工贸职业技术学院基础部,浙江温州 325003)

讨论了二元函数和三元函数在有无穷多个驻点时的极值的判定方法,并进一步介绍了该判定方法在证明不等式方面的应用.

多元函数;驻点;极值;偏导数

多元函数在一般情况下求极值时,是先找其驻点,即令所有一阶偏导数为零,求解方程组得到驻点,进一步验证驻点是不是极值点.我们的问题是,在一定条件下,函数有无穷多个驻点,它们位于一条曲线上,极值问题怎样处理.例如,函数f(x,y)=x2+y2-2xy,显然对任何实数x,y,f(x,y)有极小值0.但根据二元函数求极值的方法有

即直线y=x上的所有点都是f(x,y)的驻点,在每一个驻点上-fxxfyy=0均成立,这说明用现有的方法不能判定此类情况.为了方便,我们把满足多元函数所有偏导数为零的无穷多个点所在的曲线称为该多元函数的驻线.如y=x为f(x,y)=x2+y2-2x y的驻线,y=±为f(x,y)=sin(x y)的驻线.

假设f(x,y)具有二阶连续偏导数,如果f(x,y)有驻线,即方程组

有曲线解,设为x=φ(t),y=ψ(t),进一步设此驻线为光滑曲线,如果简记二阶偏导数在(φ(t),ψ(t))的值为fij(i,j=1,2),则有

对所有的t成立.这是关于φ′(t),ψ′(t)的线性方程组,因而有非零解的充要条件为

在驻线上处处成立.

同样地,设三元函数F(x,y,z)具有二阶连续偏导数,如果F(x,y,z)有驻线,设x=φ1(t), y=φ2(t),z=φ3(t)为F(x,y,z)的光滑驻线,如果简记二阶偏导数在(φ1(t),φ2(t),φ3(t))的值为Fij(i,j=1,2,3),则有

对所有的t成立.这是关于φ′1(t),φ′2(t),φ′3(t)的线性方程组,因而有非零解的充要条件为

在驻线上处处成立.总之我们有以下定理.

定理1 如果具有二阶连续偏导数的函数f(x,y)有光滑驻线:x=φ(t),y=ψ(t),则⑴式成立,其中fij(i,j=1,2)为f(x,y)的二阶偏导数在(φ(t),ψ(t))的值.如果具有二阶连续偏导数的函数F(x,y,z)有光滑驻线:x=φ1(t),y=φ2(t),z=φ3(t),则(3)式成立,其中Fij(i,j=1,2,3)为F(x,y,z)的二阶偏导数在(φ1(t),φ2(t),φ3(t))的值.

例1 考虑三元函数

一般情况下,二元函数f(x,y)在驻点处成立f2xy-fxxfyy＜0时有极值.而三元函数在驻点处有极值的充分条件为矩阵

在驻点处为正定的.显然例1中的函数H和K均不满足矩阵(4)为正定.下面的两个定理来分别解决二元函数和三元函数有驻线时取极值的条件.

定理2 设具有二阶连续偏导数的函数f(x,y)有光滑的驻线C:x=φ(t),y=ψ(t),如果对所有的t,

成立,则f(x,y)在C上取得极大(小)值.

证在平面内过C上任一点(φ(t0),ψ(t0))及其附近一点(x0,y0)引一条直线

其中λ为任意常数.在空间内⑸式为一平行于z轴的平面,它与z=f(x,y)的交线的参数方程为

时取极大(小)值.

证过三维空间内曲线C上任一点(φ1(t0),φ2(t0),φ3(t0))任意引一平面π:

其中Fij(i,j=1,2,3)表示F的二阶偏导数在(φ1(t0),φ2(t0))处的值.由于(2)对t=t0成立,以及φ′1(t0),φ′2(t0),φ′3(t0)不同时为零,不妨设φ′3(t0)≠0,则根据(2)有

由定理3容易得到例1中的函数H=x2+y2+z2-xy-yz-x x有极小值0;函数K在C1上无极值,在C2上有极大值;在C3上有极小值.

例2 证明下列不等式

由定理2,3知f,F,g在其驻线上分别取极小值,极大值和极小值,从而不等式(7),(8),(9)成立.

[1] 陈治中.线性代数[M].北京：科学出版社,2001：182-183.

[2] 朱培勇,黄家琳.数学分析(下册)[M].成都：四川大学出版社,2002：91-93.

[3] 北京大学数学力学系.高等代数[M].北京：人民教育出版社,1978.

The Extremum Problems of Function of Several Variables When They Have Limitless Stationary Points

WA N G J i-jian
(Zhejiang Industrial&Trade Polytechnic,Wenzhou,Zhejiang 325003,China)

The article elaborates the judging methods of the extremum when bivariables and tri-variables have limitless stationary points.It gives further introduction about the application of such judging merhods to prove inequalities.

function of several variables;stationary point;extremum;partial derivatives

O172.1

C

1672-1454(2011)03-0189-05

2008-07-14