非负矩阵谱半径的一个新界值

李丹青

(电子科技大学数学科学学院,成都 611731)

非负矩阵谱半径的一个新界值

李丹青

(电子科技大学数学科学学院,成都 611731)

在Wielandt定理的基础上进行了推广,得到了一种估计非负矩阵谱半径的新方法,数值例子显示了新方法所得到的结果更为精确.

非负矩阵;谱半径;界

1 引 言

矩阵A=(aij)∈Rn×n的n个特征值λ1,λ2,…,λn组成的集合称为A的谱,其中n个特征值的模的最大值称为A的谱半径,记为ρ(A).Perron-Frobenius定理中指出,对于n阶不可约非负矩阵A,其谱半径ρ(A)是A的特征值并且A有一个对应于ρ(A)的正特征向量.

非负矩阵谱半径的估计作为非负矩阵理论的核心问题之一,许多学者都致力于这方面的研究.其中最有名且应用最多的界值由Frobenius首先得到,即非负矩阵A的谱半径的上下界分别为A的最大行(列)和与最小行(列)和.对于正矩阵A,Lederman,Ostrowski,Brauer对Frobenius界值又相继作了改进.但对于最大行(列)和与最小行(列)和相差很大的矩阵,上述界值并不理想,因此需要更多更好的方法.

目前关于谱半径的界已经有许多深刻的结论,其中有如下的著名定理:

定理[1](Wielandt) 设A=(aij)是n阶非负矩阵,其谱半径为ρ(A),x是n维列正向量,那么

如果A不可约,那么等号成立当且仅当x是相应于ρ(A)的特征向量.

本文将上述定理进行了推广,通过理论和数值例子的证明,可以显示推广后的方法所得到的结果精确度更高.

2 主要结论

引理1[2]设q1,…,qn是正数,p1,…,pn是任意实数,则

当且仅当所有的比值pi/qi相等时,等号成立.

定理1 设A是n阶不可约非负矩阵,x是n维列正向量,则对任意的m∈N+,有

3 数值例子

表1 各种界值比较

从上表可以看出,随着m,p的增加,谱半径界值更为精确.通过更为多的数值例子可以得出,界值关于p的收敛速度比关于m的收敛速度要快.但本文中并未给出证明.

注 求不可约非负矩阵谱半径的任何方法都可用以计算一般非负矩阵的谱半径,本文中的方法也不例外.事实上,对于任意的非负矩阵A(可约或不可约),都存在置换矩阵P使

为下三角形分块矩阵,其中Aii(i=1,…,m)都是不可约非负矩阵,而且ρ(A)=ρ(PAP)T=maxρ(Aii).

致谢 衷心感谢黄廷祝教授的指导.

[1] Berman A and Plemmons R J.Nonnegative matrices in Mathematics Science[M].New York：Academic Press, 1979.

[2] Minc H.Nonnegative Matrices[M].New York：Wiley,1988.

[3] 黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵及应用[M].北京：科学出版社,2007.

[4] 殷剑宏.求非负矩阵最大特征值与特征向量C-W方法[J].合肥工业大学学报,2000,23(5)：752-756.

A New Bound for the Spectral Radius of a Nonnegative Matrix

L I Dan-qing
(School of Appl.Math.,Univ.of Electronic Science and Technology of China,Chengdu,Sichuan 611731,China)

Based on a theorem of Wielandt’s,a new estimate for the spectral radius of a nonnegative matrix is presented.A numerical example is provided to illustrate the effectiveness of this approach.

nonnegative matrix;spectral radius;bound

O151.21

A

1672-1454(2011)03-0026-04

2008-07-01;[修改日期]2009-04-02