积分区域的对称性在定积分和重积分计算中的应用

吾吉买买提·艾合买提

（和田师专数学系 新疆和田 848000）

积分区域的对称性在定积分和重积分计算中的应用

吾吉买买提·艾合买提

（和田师专数学系 新疆和田 848000）

本文主要讨论积分区域的对称性在定积分，重积分计算中的应用，对每一类积分，先给出对称性用于该类积分的相关结论，再利用此结论求解一些典型的积分，对积分区上的积分计算进行了总结。

对称性；定积分；二重积分；三重积分

利用积分区域的对称性及函数自身的特点解决积分问题是求解积分的一种技巧，直接计算很复杂的积分或重积分，利用积分区域的对称性和函数自身的特点比较容易解决。

1.定积分的对称性

利用积分区间关于原点的对称性和函数奇偶性，即：若函数f( x)∈R[ a,−a]，则：

证明：由定积分性质，知:

2）若f(−x)=f( x)，令积分，则：

2.二重积分的对称性

二重积分的对称性有两种：

2.2 奇偶对称性。

命题1：设f( x, y)为区域D上的连续函数，且区域D关于y轴对称。

（1）若f( x, y)为关于的偶函数，即对∀(x,y )∈D有f(−x, y)=（f x，y），则：

其中D1=

（2）若f( x, y)为关于的奇函数，即对∀(x,y)∈D有f(−x, y)=−（f x，y） ，

证明：记D2=

令u,y v，则：

可得：

由②式得：

由①式得：

此时易得命题1的结论。

由命题1易知：若f( x, y)为区域D上的连续函数，且区域D关于轴对称，f( x, y)为关于y的奇函数或偶函数有类似的结论。

命题2：设f( x, y)为区域D上的连续函数，且区域D关于轴和y轴均对称。

（1）若f( x, y)为关于及y的偶函数，即对∀(x,y)∈D有f(−x, y)=（f x，-y）=f( x, y )，则：

（2）若f( x, y)为关于或y的奇函数，即对∀(x, y)∈D，又f(−x, y)=−f( x, y)或f( x,−y)=−f( x, y )，f(x,y)命题3：设为区域D上的连续函数，且区域D关于

原点对称。

（1）若对∀(x,y)∈D，有f(−x,−y)=f( x, y )，则：

（2）若对∀(x,y)∈D,有f(−x,−y)=−f( x, y)，则：

证明：与命题1证明类似，只需令=−u， y=−v即可。

命题4：设f(x,y)为区域D上的连续函数，且区域D关于直线y=x对称。

（1）若对∀(x, y)∈D，有（f x， y）=（f y， x） ，则：

（2）若对∀(x,y)∈D 有（f x，y）=−（f y，x），则：

解：因为积分区域D关于轴，y轴均对称，而被积函数关于和y是偶函数，所以有：

3.三重积分的对称性

根据被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化三重积分的计算， 三重积分的计算中也有相应的对称性定理：

3.1 根据位置的对称（也称变量可轮换性）。设Ω由ϕ（x,y,z)≤0表示，若将和y的位置交换后，ϕ（y,x,z)≤0仍然表示Ω，则：

3.2 设三维实空间有界闭区域Ω=Ω1∪Ω2,且Ω1与Ω2关于oy面对称，函数（f x，y，z）在Ω上可积，则：

3.3 设三维实空间有界闭区域Ω=Ω1∪Ω2,且Ω1与Ω2关于z轴对称，函数（f x，y，z） 在Ω上可积，则：

3.4 设三维实空间有界闭区域Ω=Ω1∪Ω2,且Ω1与Ω2关于坐标原点对称，函数（f x，y，z）在Ω上可积，则：

解：因为Ω关于oy面对称，且被积函数f(x, y, z)在Ω上连续并为关于z的奇函数，故：

解：本题具有变量位置的对称，因此有：

设D:x2+y2=R2−z2(x≥0,y ≥0)，

z

则原式为：

综上所述，由以上的研究和解题、易知用对称性定理来简化定积分，二重积分和三重积分的计算，可以起到事半功倍的效果，使重积分计算过程更方便，更简单，可以说是在重积分计算中有一定的应用价值。

[1]同济大学应用数学系.高等数学（五版）[M].高教出版社，2002.

[2]谭泽光，刘坤林.微积分（下）[M].清华大学出版社，2006.

[3]华东师范大学数学系.数学分析（下）[M].高等教育出版社，2004.

[4]赵达夫.高等数学的辅导讲义[M].新华出版社，

吾吉买买提·艾合买提(1976-)，男，维吾尔族，新疆皮山人，硕士，和田师范专科学校数学系讲师，研究方向：高等数学和数学教育。

2011-01-16