一类带参数的四阶Neumann边值问题解的存在性

黄永峰

(昌吉学院数学系 新疆 昌吉 831100)

1 引言

近年来,高阶边值问题由于其在物理及工程学中应用的广阔性而得到了人们的广泛关注.许多作者研究了高阶边值问题正解的存在性,得到了一些较好的结果, 见文[1,2,3]。他们大都利用锥拉伸或锥压缩定理以及不动点指数理论在非线性项满足超线性或次线性条件时获得结论.也有许多作者利用临界点理论及Morse理论研究了高阶边值问题解的存在性,见文[4,5,6,7].特别地,文[5]利用临界点理论和Morse理论并结合局部环绕定理得到了四阶带参数Dirichlet边值问题解的存在性.文[7]运用鞍点定理及临界点理论得到了四阶带参数的Neumann边值问题的解的存在性.基于以上的研究工作,本文考虑如下的问题

解的存在性,其中f∈C1([0,1]×R,R),η,ξ为参数,且满足条件：

为了证明的需要,本文作如下的几个条件假设：

2 预备知识

由此知边值问题在C4[0,1]中的解等价于下列方程

在C[0,1]中的解.

为了结论的证明需要,下面给出一些临界点理论和Morse理论的基本定义和引理.

定义2.1[8]设D是实Banach空间E中的开集,泛函J:D→R1在D上是Frechet可微,若有u0∈D使得J'(u0)=0,则称u0是泛函J的一个临界点.

定义2.2[8]设E实Banach空间,J∈C1(E,R1).如果{un}⊂E,J(un)→c,J'(un)→θ,n→∞蕴涵{un}有收敛子列,则称泛函J满足(PS)c条件.如果对于所有的c均满足(PS)c条件,则称泛函J满足PS条件.

定义2.3[9]设J(θ)=0,E=V⊕X,dimV<+∞,X为实Banach空间.如果存在ρ>0,使得

J(u)≤0,u∈V,‖u‖≤ρ;

J(u)>0,u∈X,0<‖u‖≤ρ,

那么称J在θ点局部环绕.

定义2.4[9]设u0是泛函J的一个孤立临界点,J(u0)=c,U是u0的一个邻域且在U中J除u0外没有其它临界点.我们称

Cq(J,u0)=Hq(Jc∩U,(Jc∩U){u0}),q=0,1,2…,

为J在u0的第q个临界群,其中Hq(X,Y)为第q个奇异相对同调群,其系数为整数群.若至少有一个临界群是非平凡的,则称u0是J的一个同调非平凡临界点.

引理2.2[4]如果泛函

有一个临界点u∈L2[0,1],则边值问题在C4[0,1]中有一个解.

引理2.3[9]假设J∈C1(E,R1)满足PS条件且在θ点局部环绕,则θ为J的一个同调非平凡临界点.

定义2.4[9]设p为J的一个孤立临界点,J∈C2(E,R1).若J''(p)有有界逆,则称p为J的一个非退化临界点.我们称相应于J''(p)谱分解的负空间的维数为J在p点的Morse指数,记为ind(J,p).

引理2.4[9]设J∈C2(E,R1),p为J的一个非退化临界点,且其Morse指数为j,则Cq(J,p)=δqjZ.

3 主要结论及证明

定理3.1[7]设对k≥1,(H1) 和(H2)满足,那么边值问题至少有一个解.

引理3.1 如果(H3)满足,那么Cq(J,p)=δqmZ.

此引理在文[5]中已有了详细的证明,由于在本文中其证明和文[5]中完全类似,故在此省略其证明.

定理3.2 假设f(t,0)=0,对k≥1,(H1) 和(H2)满足,且当m≠k时,(H3)成立,那么边值问题至少有一个非平凡解.

证明 设ω为定理3.1所得到的解,我们只需证明ω≠0.因为ω是由鞍点定理在k维子空间的情形下所得到的解,因此我们有Ck(J,ω)≠0.又当条件(H3)满足时,由引理3.1有Cq(J,p)=δqmZ,注意到m≠k,因此我们有ω≠0.证毕.

引理3.2 假设f(t,0)=0,对k>1,(H1) 和(H4)满足,那么泛函J具有山路型结构,亦即J(θ)=0且满足

(i)存在β,ρ>0,使得J(u)≥β,u∈L2[0,1],‖u‖=ρ;

(ii)存在e∈L2[0,1],使得‖e‖>ρ且J(e)<0.

证明 由(H4)知,存在δ>0,α>0,使得F(t,u)≤1/2·(ξ-δ)u2,|u|≤α.选取ρ=α/L1,其中L1为K1/2:L2[0,1]→C[0,1]的范数,当‖u‖<ρ时,我们有‖K1/2u‖C≤L1·‖u‖≤α,则有

由此知(i)满足.

取e0为特征值λ0=1/ξ对应的标准向量我们知

定理3.3 假设f(t,0)=0,对k>1,(H1), (H2) 和(H4)满足,那么边值问题至少有两个平凡解.

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