低杂波改善约束与径向电场相关性的研究

韦 维， 张 霆， 孙晓霞， 丁伯江

（1.合肥工业大学 电子科学与应用物理学院，安徽 合肥 230009；2.中国科学院 等离子体物理研究所，安徽 合肥 230031）

在磁约束聚变的研究中，实现点火的最有效途径就是在辅助加热放电中提高等离子体的约束品质，这是目前普遍被认可的观点，因此，如何改善等离子体约束是核聚变工作者最关心的问题之一。世界上许多装置在低杂波电流驱动（LHCD）情况下都发现了约束改善现象，如欧共体的JET装置上，低杂波与少数粒子的离子回旋共振加热联合进行，可在电流上升段获得中空电流分布，约束得到了改善［1］；法国的超导装置ToreSupra用大于25MW的低杂波，实现了数秒的反剪切位形，q分布被拉平并反转，约束得到了改善［2］；在我国的HT－7托卡马克装置中，也常常观察到加低杂波后等离子体粒子约束和能量约束得到改善的现象［3－5］。

受托卡马克中约束改善机制的发展所激励，径向电场的研究这些年来已成为热门。大量的（H模）物理实验表明，等离子体中小尺度的密度、温度、电位和磁场的涨落等湍流现象及其引起的反常输运可通过由Er×B流剪切形成的边缘或内部输运垒来有效抑制［6－7］。目前，由径向电场所驱动的Er×B剪切流能导致等离子体约束改善这一观点已得到普遍认可。

为了研究LHCD与径向电场之间的关系，从而可以更好地理解LHCD下约束改善的物理机制，本文从径向电场改善等离子体约束这一角度入手，通过数值模拟计算LHCD影响下的径向电场分布［8］。

1 LHCD影响下径向电场的计算原理

径向电场是径向力平衡的一部分，它必须满足等离子体每一种类（电子和不同的离子）的力平衡，用j表示不同的等离子体种类，可以表达为［9］：

其中，e为电子电荷；nj为电子或离子密度；v为等离子体流速度；▽Pj为电子或离子的压力梯度；B为等离子体中的磁场。

（1）式对等离子体中离子或电子都是适用的。当ej＝Zje表示离子，当ej＝－e表示电子。

由于低杂波主要是与电子相互作用，而不是与离子，本文只以电子作为研究对象，于是（1）式变为：

其中，电子流速度v包括电子的环向流速度vφe和极向流速度vθe，于是得到：

其中，Bφ、Bθ分别指环向和极向的磁场。在托卡马克装置上，尽管环向磁场远大于极向磁场，但由于低杂波与电子相互作用后，电子主要是在环向被加速，所以低杂波电流驱动对径向电场的影响主要是由于电子的环向流速引起的。鉴于低杂波对极向旋转的影响相对较小和极向旋转的确定相对比较困难，此处计算径向电场时只考虑电子的环向流速，忽略极向流速的影响。则（3）式变为：

由于J＝enev／／，J 为等离子体电流密度，v／／为平行于磁场方向（环向）的电子的平均速度，它与电子环向流速的平均值vφe是相等的，即v／／＝vφe，所以J＝enevφe，于是得到：

其中，电子的压力分布和极向磁场分布的表达式分别为［10］：

其中，ne（r）和Te（r）分别为电子密度分布和电子温度分布；μ0为真空磁导率；J（r′）为电流密度分布。

加波前，电子密度分布、电子温度分布和电流密度分布均假设为：

其中，neo、nea、Teo和 Tea分别为中心电子密度、边界电子密度、中心电子温度和边界电子温度；a为托卡马克小半径；y1、y2和x分别为电子密度分布系数、电子温度分布系数和电流密度分布系数；J0为欧姆（OH）阶段的中心电流密度，可以由（11）式求出：

其中，Ip为等离子体总电流。加低杂波前极向磁场的表达式为：

把（6）式、（8）～（12）式代入（5）式，得到加低杂波前径向电场分布的表达式为：

加低杂波后，考虑到粒子数守恒，假定电子的密度分布不变；电子温度分布也假定不变，因为主要是考虑低杂波的驱动效应而不是加热效应，驱动的快电子通过碰撞对温度虽然有一定影响，但相对较小，所以忽略不计；这样，电子的压力梯度在加低杂波后没有变化，即可忽略加波后电子压力梯度对径向电场的影响。而加波后电流密度分布改变了，由加波前的欧姆电流密度分布变为欧姆电流密度分布与驱动电流密度分布之和，即

其中，JLH（r）为驱动电流密度分布，可直接引用原有LHCD程序的计算结果［11］；J′oh（r）为 LHCD期间的欧姆电流密度分布，它与OH期间的欧姆电流密度分布是不相等的，把它假设为：

其中，J′0为LHCD期间的中心电流密度，可以由（16）式求出：

其中，Irf为低杂波驱动的电流。加波后极向磁场分布的表达式可写为：

于是，加低杂波后径向电场分布的表达式为：

根据以上的公式和假设，采用Fortran编程，只要适当地改变计算参数，就可以得到欧姆阶段（加低杂波前）和低杂波阶段（加低杂波后）的径向电场分布。

2 低杂波驱动电流对径向电场的影响

低杂波电流驱动的基本原理如下：在等离子体中传播的低杂波是准静电波，当其相速度与电子的热速度近似相等时，波就会与电子发生朗道共振，其结果是波把能量传给了电子，使这些电子在平行于磁场方向具有更高的速度，这些沿波矢方向增加速度的电子对电流的贡献即是低杂波驱动电流。

根据（2）式，径向电场是径向力平衡的一部分，它必须满足等离子体每一种类（电子和不同的离子）的力平衡。对于电子来说，它在径向受到3个力的作用，分别是电子压力梯度、v×B和Er。定义力和径向电场的方向沿径向朝外为正、朝内为负。电子压力梯度产生的力为：

由于▽Pe＜0，所以F▽P为正值，方向沿径向朝外；v×B产生的力为：

因为v×B＞0，所以Fv×B为负值，方向沿径向朝内；径向电场产生的力为：

其大小和方向取决于F▽P和Fv×B的合力，它们有如下的关系：

（1）当｜F▽P｜＞｜Fv×B｜时，F▽P和Fv×B的合力为正值，方向朝外，即FEr＞0，则Er为正值，方向朝外。加低杂波后，满足朗道阻尼条件的电子就会与波发生作用，从波那里得到能量成为快电子，于是电子的环向流速就会增大，v×B也会随之增大，Fv×B在负方向会变得更大，FEr就会减小，Er也会减小。

（2）当｜F▽P｜＝｜Fv×B｜时，F▽P和Fv×B的合力为0，即FEr＝0，则Er也为0。

（3）当｜F▽P｜＜｜Fv×B｜时，F▽P和Fv×B的合力为负值，方向朝内，即FEr＜0，则Er为负值，方向朝内。加低杂波后，电子的环向流速增大，使得Fv×B在负方向变大，于是Er在负方向也会变强，这样才能继续维持电子的径向力平衡。

由此可见，在低杂波驱动电流情况下，当波的相速度与电子的热速度近似相等时，波就会与电子发生朗道共振，其结果是波把能量传给电子，使这些电子在平行于磁场方向（环向）具有更高的速度，于是v×B产生的力增大，这就影响到电子径向的受力平衡。根据电子的径向力平衡方程，电子受到的径向电场的力必须发生变化，即径向电场随之发生变化，才能继续维持电子径向的受力平衡。在v×B的贡献大于压强的贡献的情况下，Er为负值，随着电子环向速度的增大，即v×B的贡献增大，Er在负方向变得更强。

3 LHCD期间约束改善的实验现象

3.1 粒子约束的改善

粒子约束时间可以理解为粒子约束在等离子体内部的平均时间［12］，定义为：

其中，Ne＝2π∫nerdr为单位长度等离子体的电子数；ΦL为电子损失总速率。

在HT－7托卡马克中，低杂波驱动电流的情况下，很明显地观察到粒子约束改善的现象。LHCD改善粒子约束的典型放电波形如图1所示，其中给出了等离子体电流Ip、环电压Vf、等离子体密度ne、Dα线辐射及低杂波功率PLH随放电时间t的变化。此时的等离子体和波参数为：等离子体电流Ip＝155kA，低杂波总功率PLH＝320kW，纵向磁场Bt＝1.9T。当放电放到t＝420ms时，等离子体参数已达到稳定，此时投入低杂波。加波后，Dα线辐射有非常明显的下降，与此同时，等离子体密度ne上升，说明此时等离子体的粒子约束时间增大。

图1 LHCD改善粒子约束的典型放电波形

在HT－7实验中，粒子约束时间可用多道可见光谱测量系统测量Dα线辐射得到。在一定的密度和温度范围内，电子损失速率ΦL与其相关的Dα线辐射强度成正比，当Dα下降，即电子损失速率下降，则粒子约束时间上升。图2所示即是用多道可见光谱测量系统测出的粒子约束时间τp，从中可以看出加波前τp为4ms，加波后τp达到了25ms左右，提高了5倍。

图2 加低杂波前后的粒子约束时间

3.2 能量约束的改善

能量约束时间可以理解为等离子体所获得的能量保持在其内部的平均时间［11］，定义为：

其中，W 为等离子体的总能量，可根据逆磁测量直接测得；PL为总的输入功率，LHCD实验中，包括欧姆功率和低杂波功率，则有：

其中，Vf为加波前欧姆阶段的环电压；Ip为等离子体总电流；IOH为欧姆电流；Irf为低杂波驱动的电流。

根据（19）～（22）式，可分别计算出 OH 和LHCD阶段的能量约束时间。计算结果表明，LHCD期间的能量约束也得到了很大程度的改善，能量约束时间从OH阶段的14.6ms增长到LHCD阶段的24.5ms［13］，并且形成了以电子或离子的温度和密度分布表示特征的内部输运垒（ITB）。ITB的出现常常与能量约束时间的突然增加相一致，因此ITB通常被看作是等离子体约束改善的标志。在HT－7托卡马克中，电子温度通过软X射线能谱测出，电子密度是由远红外激光干涉仪测出。

实验中测得的电子温度Te和电子密度ne随托卡马克小半径r的分布，如图3所示。

图3 电子温度和电子密度分布

从图3中可以看出，LHCD阶段的电子温度分布和电子密度分布在r为0.15m附近区域都变得更宽、更陡，意味着ITB在这一区域形成。

4 低杂波改善约束与模拟计算结果比较

以上实验现象与径向电场的模拟计算结果具有很好的一致性。图4所示给出了用LHCD模拟程序计算的低杂波功率沉积分布和驱动电流分布，从中发现，低杂波主要沉积在r为0.15m附近区域，驱动电流密度的最大值也分布在r为0.15m附近，与ITB的形成位置一致。另外，运用Er数值模拟程序计算的OH阶段和LHCD阶段的径向电场分布以及加波前后径向电场的差值ΔEr分布，如图5所示。

图4 功率沉积和驱动电流分布

图5 加低杂波前后的径向电场分布

从图5可以看出，加低杂波后在同一区域，即r为0.15m附近，径向电场在负方向变强，径向电场分布的梯度变陡，ΔEr分布形成了凹槽结构，说明径向电场剪切增强。这表明在低杂波被吸收的区域，电子温度分布变陡，径向电场剪切增强，ITB形成，强的径向电场剪切出现在输运垒处是H模的基本特征之一。也就是说，加波后等离子体约束的改善与低杂波引起的径向电场分布的变化有关。

可以解释如下：低杂波主要沉积在r为0.15m附近区域，即这一区域的电子通过与波的相互作用从波那里得到能量成为快电子，具有更高的环向速度，因此这一区域的驱动电流也是最大的。从电子的径向受力平衡分析，电子环向流速的增加会影响径向电场的变化，会导致径向电场在负方向变强，从而使得径向电场分布变陡，即径向电场剪切增强。根据极向旋转的分歧理论［14］，一个在负方向变强的径向电场能够抑制湍流涨落从而改善等离子体约束，径向电场剪切能够改变等离子体的起伏水平和反常输运，在抑制等离子体湍流和湍流输运方面起着重要作用。因此，在低杂波功率的沉积区域，径向电场在负方向变得更强，径向电场剪切增强，ITB形成，等离子体约束改善。

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对于LHCD期间粒子约束的改善，可能是由于低杂波的加入使得电子径向力的变化而导致径向电场的变化，引起边缘密度涨落的减小，导致粒子输运减弱，从而改善粒子约束。

5 结束语

为了了解HT－7托卡马克实验中LHCD期间等离子体约束改善现象的物理机制，本文通过数值模拟计算出LHCD下的径向电场分布。从中发现，加低杂波后，在低杂波功率沉积位置附近，径向电场在负方向变强，径向电场分布的梯度变陡，ΔEr分布形成了一个凹槽结构，这意味着加波后的径向电场剪切加强了。径向电场剪切能改变等离子体的起伏水平和反常输运，对等离子体约束起着重要作用。这说明LHCD期间的约束改善与低杂波引起的径向电场的变化有关。

另外，利用模拟计算结果与实验中的约束改善现象相比较，发现LHCD阶段ITB产生的区域与径向电场分布的凹槽区域相一致，进一步说明低杂波引起的径向电场的变化可能是导致加波后约束改善的原因。

［1］Ekedahl A，Baranov Y F，Dobbing J A，et al.Profile control experiments in JET using off－axis lower hybrid current drive［J］.Nucl Fusion，1998，38：1397－1407.

［2］Zabiego M，Huysmans G，Peysson Y，et al.MHD stability of lower hybrid enhanced performance discharges on the Tore Supra tokamak［J］.Plasma Phys Control Fusion，2001，43：1625－1639.

［3］Ding B J，Shan J F，Liu F K，et al.Experimental characteristics of a lower hybrid wave multi－junction coupler in the HT－7tokamak［J］.Chin Phys，2006，15：2989－2999.

［4］Gao X，Xu Q，Li J G，et al.Study of confinement and LHCD efficiency on the HT－7tokamak［J］.Plasma Phys Control Fusion，2008，50：035006－035014.

［5］刘成岳，陈美霞，宋逢泉.EAST托卡马克拉长位形演化的数值模拟［J］.合肥工业大学学报：自然科学版，2010，33（5）：770－772，782.

［6］Shaing K C，Hsu C T，Christenson P J，et al.L－H transition in tokamaks and stellarators［J］.Plasma Phys Control Fusion，1994，36：A75－A80.

［7］Iton S I，Iton K，Toda S，et al.Statistical theory of LH tran－sition in tokamaks［J］.Plasma Phys Control Fusion，2003，45：823－840.

［8］韦 维，丁伯江，张 霆，等.低杂波电流驱动与径向电场相关性的数值模拟研究［J］.核聚变与等离子体物理，2009，29（4）：309－314.

［9］Wolf R C.Internal transport barriers in tokamak plasmas［J］.Plasma Phys Control Fusion，2003，45：R1－R91.

［10］朱士尧.核聚变原理［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，1992：63.

［11］丁伯江.低杂波电流驱动（LHCD）的实验和数值模拟研究［D］.合肥：中国科学院等离子体物理研究所，2001.

［12］秦运文.HL－1M装置等离子体约束时间［J］.核聚变与等离子体物理，2001，21（3）：165－172.

［13］Ding B J，Kuang G L，Shan J F，et al.Studies of high confinement plasma with lower hybrid current drive in the HT－7superconducting tokamak［J］.Nucl Fusion，2003，43：558－564.

［14］Shaing K C，Crume E C，Jr.Bifurcation theory of poloidal rotation in tokamaks：a model for L－H transition［J］.Phys Rev Lett，1989，63：2369－2372.