基础数学教学过程中举例的适切性探析

周兴平

（杭州师范大学 初等教育学院，浙江杭州 310018）

基础数学教学过程中举例的适切性探析

周兴平

（杭州师范大学 初等教育学院，浙江杭州 310018）

数学教学过程中，举例是一个很常见的教学行为，但并不是每一个举例都能很好实现教师的教学目的。这主要取决于教师举例的适切性程度，而教师所举例子本身的变化维度、呈现方式以及教学目标和教学内容是影响案例适切性的三个重要方面。

小学数学；教学过程；举例；适切性

数学教学过程中，通过使用举例来认识数学概念、原理自古就有，在我国的小学教学中，举例早已被认为是广大教师不学而能的教学技巧。但是，有研究发现，举例是否恰当对教学目标及学生的学习有重要影响[1]。这一看似不学而能的技巧也并不是人们想象的那般简单，用得好，则有积极的作用，相反，则会阻碍学生对知识的理解及教学目标的达成。

一、“教学举例”与“案例教学”的概念辨析

小学数学教师在教学过程中通过举例来解释和阐述数学概念、原理、规则的行为或过程，笔者称之为“教学举例”，这一概念与近些年一直为人们热议的“案例教学”有本质上的区别，“案例教学”又称“案例教学法”，是一种以案例为基础的教学法(case-based teaching)，起源于19世纪20年代，由美国哈佛商学院(Harvard Business School)所倡导，当时是采取一种很独特的案例型式的教学，这些案例都是来自于商业管理的真实情境或事件，透过此种方式，有助于培养和发展学生主动参与课堂讨论，案例本身就是教材。

二者的区别是明显的，根本的，前者是教学过程中的一种教学技巧、技艺，任何科目或教学方法中都可能使用到的这一种技巧。后者本质上是教育的一种教学法，独立于其他的教学方法。因此，明确区别二者的不同是必需的，本文只是针对前者——“教学举例”。

二、影响“教学举例”适切性的三大要素

（一）案例的“变化维度”对举例适切性的影响

小学数学教学过程中，教师举例应当注重案例的差异性、变化性，关注案例的“变化维度”，按实验心理学的术语而言，（数学）每一个概念、原理、规则都是由若干个变量组成，构成的变量相互转换的可能性就是“变化维度”，小学数学教学过程中，教师经常要面临如何有效向学生阐述一个数学概念的情况，比如减法、加法概念等等。对于高年级的学生而言，我们不会认为这有什么难理解，但是对于小学生，数学的抽象性、逻辑性与小学生思维的具体形象性是一个不得不注意的矛盾，所以，讲解数学的概念必须尽可能的通俗、具体，因此，教师常常就会告诉学生：

“减法就是……，如：10-5=5”

“被减数-减数=余数”

然后告诉学生，等式中，被减数是10，减数是5，余数是5。总体看，这一教学过程，教师所举的案例并无错误，但这看似没有错误的地方，却隐藏可能出现制约学生对减法概念认识和理解的问题。第一次学习减法时，学生最容易的就是将概念一一对应的识记，在教师所举的这个例子中，减数是5，余数也是5，就会出现部分学生误以为减法中减数与余数是相同的，这就影响了学生正确理解减法概念，原因就在于教师所举的这个案例的特殊性，这种情况并不是没有可能，美国学者Naomi（1983）通过教学实验研究发现“在教授基础数学减法时，当被减数、减数、余数三个变量中有两个被赋予了相同的值时，学生对概念的理解就会变得很模糊，而三个变量都赋予不同值时，就不会出现这种情形”[2]。Chloe(2001)通过教授低年级小学生加法过程中，也发现这种情形，a+b=c三个值有两个变量相同就会制约学生对加法的理解。笔者在教学过程中，也时常会发现这种情形，不仅是数学科目，其他科目也是一样，比如科学，教授溶液时，区分溶液、溶剂、溶质概念，教师往往会随便举一个例子，常常是盐水、酒水等等，一般都涉及水，恰好水在这些例子中都是溶剂，学生不自觉的就形成了溶液中“水=溶剂，溶剂=水”的概念，在遇到以碘酒为溶剂的题目，学生往往就会出现理解困难，这其实就是教师举例不当造成的。

（二）案例的“呈现方式”对举例适切性的影响

讲解抽象的数学概念，为使概念更易于理解，一个重要的策略就是将概念以具体的形式呈现给学生[3]。所以，教师举例时，还应注意的一个问题就是如何呈现案例，同样一个例子，对于学生，不同的呈现方式会具有不同的效果。

Chloe（2001）在使儿童学会利用9、11、19和21进行加减法运算后，给实验学生呈现了一组两位数的加减运算题目：58+21=79，70-11=59；实验结果是“实验学生没能有效的解题”，研究分析发现，学生计算普遍有一种化数为整如10、100的趋向，原题目呈现的方式基本上不具备这一特性，当研究者将题目改成：58+20+1=？和70-10-1=？后，实验学生解题效果远远高于之前的呈现的方式[4]。

这一实验充分说明教师在举例时必须考虑如何去呈现例子，因为教师所采用的方式将会影响学生对知识的理解。现实中，许多教师还没有认识到这一点，假使由于教师举例呈现的方式不够恰当而引起学生的困惑，但教师没有意识到这一问题，这无疑会阻碍整个教学过程，甚至会模糊学生对知识的理解。如小学阶段教授分数时，约分是相对比较难讲解的内容，在教师举约分的案例时，如分数：2/2与(5×2)/2，通过2/2这一分数讲解分数的约分是比较合适的，而后者(5×2)/2这一分数，由于这一分数的呈现方式与(5+2)/2分数相似，极易使学生认为后者也同样可以像前者一样正常约分。

（三）教学目标和内容对举例适切性的影响

教师举例通常是为了达到一定的教学目的或实现教学意图，不同的教师、不同的教学目标条件下会选择不同的教学案例，教学目标和内容必然影响案例的选择与使用。

对于新教师，由于教学经验的缺乏以及技巧的不熟悉，往往对教学目标和内容没能很好掌握，所以常常会出现教学举例不适切的现象。在小学数学教学中出现由于教学目标和内容不明确而造成举例不适切的多是新教师，如讲授加法运算时，教师举例“2a+3a=5a”，这一举例往往就容易引起学生的不理解和困惑，就不如举例如“2+3=5”有效明了。原因在于“2a+3a=5a”例子中，包含了学生并未学习的内容——“整式的运算”，这已不是加法这一章节所要达到的教学目标了。所以，教师在选择案例时必须对自己的教学目标和内容要有一个清晰的认识，还必须时刻明白自己教育的对象是一些具体形象思维占主要地位的小学生。

三、影响教师“教学举例”的原因分析及建议

（一）教师的知识的培养

Shulman.Lee(1987)研究发现[5]：教师具备的知识的差异很大程度上影响教师教学举例的适切性，研究还认为，教师一般具有七类知识，而其中有三种关乎“内容知识（学科知识（SMK）、教育学知识（PCK）、课程内容知识）”，这三类知识直接与教学过程中正确使用案例教学有联系，英国有一项关于教师这三类内容知识的实验研究[6]，实验者研究了即将担任小学教学的教师，发现其中数学学科知识（SMK）掌握较好的教师，比那些数学学科知识掌握差的教师更能在教学实践中表现优秀，而且，数学学科知识差的教师容易误导学生，很少能抓住将学生教好的机会。我国师范生培养过程中，教育学知识以及课程学知识是比较充实的，但是，有的数学学科知识教育就显得不足，通过调查我国师范生培养学校的培养课程就可以证实这一点，更多的是教育学生如何去教育，对教授科目的知识往往采取忽视的态度；笔者认为，提高小学教师教学举例的适切性，应该在教师接受教育过程中就应当加以培养。

（二）教学举例技巧的专门化训练

正如前文以及相关研究所表明的那样，利用举例来教学在古代就已经很流行，然而研究显示，甚至在欧美教育发达国家，教学举例的研究也不多，笔者认为，学界应当重视教师教学举例这一教学行为的研究，抓住规律，指导小学教师正确使用“教学举例”这一行为。假使研究形成了系统、体系，我们可以组织学校教师进行专门的训练。

四、结语

基础数学教学过程中，教学举例本身是一个很平常的教学行为，以致很少有人关注教师的这一教学行为，然而，欧美的一些教学实验研究结果表明，我们不能忽视教师的这一行为，相反，应当加强对其的研究和重视，正是因为这一行为在教学过程中的平常，所以，它的影响才会广泛，研究方显的重要。

[1]Tim Rowland.The purpose,design and use of ex amplesin the teaching of elementary mathematics[J] Educ Stud Math,2008(69):149-163.

[2]Rowland&Thwaites,A.‘Elementary teachers’mathematicssubject knowledge:the knowledge quartet and the case of Naomi'[J]Journal of MathematicsTeacher Education,2005(3),255-281.

[3]Janvier.C.Problemsof representation in the teaching and learning of mathematics[J]Hillsdale.New Jersey: Erlbaum,1987(1):14-21.

[4]Jansen,C.J.M.&Pollman,m.w.On round numbers :pragmatic aspectsof numerical expressions[J]Journal of Quantitative Linguistics,2001(3):187-201.

[5]Shulman,Lee.S..Knowledge and teaching:Foundationsof the new reform.[J]Harvard Education Review,1987(57):1-22.

[6]DFEE.Teaching:High Status,High Standards: Circular4/98.London:HerMajesty’sStationeryOffice

On AppropriatenessofExamplesin theProcessofTeaching BasicMathematics

ZHOU Xing-ping
（Primary Education College,Hangzhou Normal University,Hangzhou,zhejiang 310018）

In math teaching,providing examplesis a widely-used teaching method.However,not every example can illustrate its teaching objectives.It depends on the appropriateness of the example which involves the following three aspects:dimensionsof the example;the way of presentation;teaching objectivesand content.

basic mathematics;teaching process;example;appropriateness

G623.5

A

1674-831X（2011）05-0036-03

2011-5-13

周兴平（1986— ），男，江西上饶人，杭州师范大学初等教育学院研究生，主要从事小学数学课程与教学研究。

[责任编辑：胡 伟]