基于均匀圆阵的近场源三维参数估计

胡增辉 朱炬波 何 峰 梁甸农

（1.国防科学技术大学电子科学与工程学院，湖南 长沙 410073；2.国防科学技术大学理学院，湖南 长沙 410073；3.酒泉卫星发射中心，甘肃 酒泉 732750）

1.引 言

与均匀线阵（ULA）相比，均匀圆阵（UCA）具有许多优异的特性，如能同时估计信号的方位角和俯仰角、测向精度随方位角变化不明显等。基于均匀圆阵的波达参数估计一直是阵列信号处理领域的研究热点。

目前，基于均匀圆阵的波达参数估计算法［1－4］的研究主要集中在二维波达角估计上，即方位角和俯仰角的估计。然而，当源信号位于圆阵的Fresnel区域［5］内时，远场条件下的平面波前假设不再成立。在此情形下，除方位角和俯仰角外，源信号到圆阵的距离也需要估计。然而，到目前为止，基于均匀圆阵的近场参数估计算法非常少。LEE［6］等人利用路径跟踪技术，提出了一种近场源三维参数估计算法。该算法首先利用二维多重信号分类（MUSIC）算法，得到方位角和俯仰角的初始估计，然后利用路径跟踪技术，多次搜索得到距离、方位角和俯仰角的联合估计。然而，二维MUSIC算法需要进行二维频域搜索，计算量非常大，且其估计精度受搜索步长的影响。

高阶累积量［7－8］在空间谱估计中有着广泛的应用，它能够抑制高斯噪声。在文献［6］算法结论的基础上，提出一种基于高阶累积量矩阵联合对角化［9－10］的均匀圆阵近场源三维参数估计算法，该算法无需进行二维频域搜索。

2.理论分析

首先介绍相关信号模型及假设条件，然后构造一组高阶累积量矩阵，通过累积量矩阵联合近似对角化得到阵列流形矩阵的估计。利用阵列流形矩阵的估计及文献［6］的结论，首先得到方位角的精确估计和距离、俯仰角的粗略估计。为提高估计精度，利用最小二乘方法来获得更高精度的估计。

2.1 信号模型

考虑由N个各向同性阵元组成的均匀圆阵（如图1所示），以均匀圆阵所在的平面为x－y平面，圆阵圆心为坐标原点，圆阵半径为R.M个具有相同中心频率fc的独立近场窄带信号入射阵列，入射参数为（rk，θk，φk），k＝1，…，M.为避免模糊，通常假设θk∈［0，π／2），φk∈［0，2π）.

图1 均匀圆阵结构示意图

以坐标原点处的虚拟阵元为相位参考点，t时刻第i个阵元的输出为

式中：sk（t）为第k个源信号；ni（t）表示第i个阵元上的加性高斯白噪声；ai（rk，θk，φk）为第k个源信号对应的导向矢量a（rk，θk，φk）的第i个元素：

式中：ω＝2π／λ，λ为信号的载波波长，上标T表示向量和矩阵的转置，Rl（rk，θk，φk）为第k个源信号到第l个阵元的距离，且有

其中ρl（θk，φk）＝sinθkcos（φk－（l－1）θ0），l＝1，…，N，θ0＝2π／N.

对于近场源，利用 Fresnel近似，Rl（rk，θk，φk）可以近似为

式（1）用矩阵形式表示为

式中：x（t）＝ ［x1（t），…，xN（t）］T为接收信号矢量；A＝ ［a（r1，θ1，φ1），…，a（rM，θM，φM）］为阵列流形矩阵；s（t）＝ ［s1（t），…，sM（t）］T和n（t）＝ ［n1（t），…，nN（t）］T分别为源信号矢量和噪声矢量。

对信号模型作如下假设：

1）源信号是相互统计独立的窄带平稳随机过程，它们的四阶累积量均不为零。

2）阵元上的加性噪声是零均值白高斯过程，噪声与信号之间是相互统计独立的。

3）N≥M，阵列流形矩阵A是列满秩的。

4）相邻阵元间距d和载波波长λ之间满足如下关系：d≤λ／2.

假设2）～4）为近场源参数估计问题的一般性假设，而假设1）则是基于高阶累积量的算法所通常需要的假设条件。另外，源信号数目M的确定属于信号检测问题，已有许多文献研究该问题，因此，假设M是已知的。

2.2 阵列流形矩阵A的估计

定义阵元接收数据的四阶累积量［9］

式中：表示标量xi的共轭；xH表示矢量x的转置共轭；E｛x｝表示随机变量x的期望。

由式（5）及假设H1和H2，Ci具有如下形式

式中：Γi＝diag｛cs1｜A（i，1）｜2，…，csM｜A（i，M）｜2｝，diag｛z1，z2｝表示以z1和z2为对角线元素的对角矩阵，csi＝cum｛，si｝为源信号si（t）的四阶累积量；A（i，k）表示A的第i行第k列元素。

由于A是满秩的，对任意的1≤i≠k≤M，至少存在m∈ ｛1，...，N｝，使得Γm的第i个和第k个对角线元素不相同。因此，可以应用矩阵联合对角化技术到来得到A的估计。

矩阵联合对角化是指，寻找满足一定约束条件（如范数为某个常数）的非零矩阵V，使得式（8）定义的代价函数值最小。

式中off｛B｝表示矩阵B非对角线元素绝对值平方和。

文中利用文献［11］中的非正交联合对角化算法得到A的估计。

理想情况（无噪声，源信号之间严格统计独立）下，A的估计与A之间满足

式中：Λ为一对角线元素非零的对角矩阵，代表估计的尺度不确定性；P为一置换矩阵，代表顺序不确定性。

置换矩阵P对于结果的影响可以忽略。因为A每列可由一组不完全相同的（r，θ，φ）表示。得到后，由~A的每列可得到一组（r，θ，φ）的估计。因此，后文不考虑P的影响，即假设

2.3 方位角估计

文献［6］指出，无论距离和俯仰角取值如何，近场方位角等于距离无穷远时的方位角。因此，利用该结论及已有的远场均匀圆阵二维波达角估计算法，结合式（10）的~A，可以首先得到较为精确的方位角估计。

令Λ＝diag｛λ1，...，λM｝，记的第k列为则

定义 （N－1）×1维矢量bk（l）＝（l＋1）／（l），将式（11）及式（2）代入bk的定义式中可得

由文献［6］的结论，令rk→∞，由于ω｜（Rl＋1（rk，θk，φk）－Rl（rk，θk，φk）｜≤2πd／λ≤π，因此，由式（12）可以得到

式中arg｛·｝表示相位算子，其取值范围为［－π，π］.将式（13）用矩阵表示为

式中η＝ ［sinθksinφk，sinθkcosφk］T

利用线性最小二乘，由式（14）可得η的估计，记为＝（UHU）－1UHρ。由可得到方位角φk的估计为

2.4 距离和俯仰角估计

由2.3节的讨论知，利用的每列可以得到一个方位角的估计。本节，利用以及方位角的估计，对距离和俯仰角进行估计。

对的第k列，由式（12）和（13）有

将式（4）代入式（17）可得

式中：pl＋1＝pl＋1（θk，φk）；pl＝pl（θk，φk）.

令αk（l）＝cos（φk－（l－1）θ0）－cos（φk－lθ0），γk＝arg｛bk（l）｝／（ωR），yk＝sinθk，zk＝R／rk，βk（l）＝cos（φk－（l－1）θ0）＋cos（φk－lθ0），式（18）可以简化为

式（19）用矩阵表示为

式中：

由式（20）和0≤θk＜π／2，以及源信号位于圆阵的Fresnel区域内的约束条件，利用线性最小二乘方法可以求得（rk，θk）的估计值，记为）。估计过程中，将由式（16）得到的代替φk.

综上所述，由的每一列，可得到某个源对应的波达参数（rk，θk，φk）的估计（）.

由式（11）～（22）可得到波达参数的粗略估计。然而，通常情况下，距离和俯仰角的估计精度可能不是很高，原因可能是多方面的

1）Fresnel近似误差可能非常小，但传播到每个参数上的误差可能非常大；

2）矩阵A的估计存在一定的误差；

3）即使方位角φ的估计精度很高，由式（20）估计（r，θ）时，φ的微小误差也可能被放大。

对A的估计的第l列，利用（rl，θl，φl）的初始估计（），（rl，θl，φl）可由如下的约束最小值问题重新估计，即

式中f（rl，θl，φl）称为残差函数，其定义为

其中bl定义见式（12），d定义为

式（23）为典型的约束非线性最小二乘问题，可应 用 经 典 的 Gauss－Newton 或 Levenberg－Marquardt等算法［12］进行求解，由式（11）～（22）估计得到的（）作为迭代初值。由于迭代初值与真值误差（尤其是方位角）不是非常大，通常迭代几步即可得到收敛值。

3.实验结果分析

本节通过仿真实验验证所提算法的有效性，并将文中算法与文献［6］中算法进行比较，文献［6］中算法简记为MUSIC－PF.

实验结果为500次Monte－Carlo实验的平均数据，分别采用均方根误差（RMSE）和归一化均方根误差（NRMSE）作为角度（方位角和俯仰角）和距离的估计精度衡量指标。

仿真1 研究信噪比（SNR）对波达参数估计精度的影响。源信号选为si（t）＝exp（j（0.2πt＋φi）），其中φi为［0，2π］内的均匀分布，φi间相互独立。均匀圆阵由13个阵元组成，圆阵半径R＝λ，相邻阵元间距约为0.48λ.两个源信号的波达参数分别为（2.5R，30°，45°）和 （3R，50°，70°），采样数为 1024。SNR从5dB变化到25dB时，角度估计RMSE和距离估计NRMSE随SNR的变化曲线如图2所示。MUSIC－PF算法中，二维MUSIC算法搜索步长为0.05°.

由图2可以看到，无论是角度估计还是距离估计，本文算法性能都要优于MUSIC－PF算法。原因主要有两个：一是MUSIC－PF算法方位角估计误差相对较大，进而影响距离和俯仰角估计精度；二是本文算法为高阶累积量算法，它能抑制高斯白噪声。

仿真2 考虑采样数对参数估计精度的影响。仿真条件同仿真1，SNR＝15dB，采样数从128变化到1024。图3为本文算法和MUSIC－PF算法参数估计性能随采样数的变化曲线。由图3可以看到，MUSIC－PF算法对采样数不是很敏感。当采样数较少时，本文算法性能比 MUSIC－PF算法差，而当采样数较多时，情况则正好相反。主要原因在于MUSIC－PF算法利用的是二阶统计量，它对采样数不是非常敏感。而本文采用的四阶累积量虽然能抑制高斯白噪声，但是它对采样数比较敏感。

4.结 论

基于均匀圆阵，提出了一种基于高阶累积量的近场源距离－方位角－俯仰角估计算法。首先利用阵元接收数据构造一组高阶累积量矩阵，通过矩阵联合对角化技术得到阵列流形矩阵的估计。再利用近场和远场情形方位角相同的结论，得到方位角的估计。最后利用估计得到的阵列流形矩阵及方位角，得到距离和俯仰角的估计。为提高估计精度，利用非线性最小二乘重新估计波达参数。与文献［6］中算法相比，本文算法无需进行二维频域搜索，且在采样数比较多时参数估计精度更高。本文算法的高估计性能代价是计算量比较大，主要是由于高阶累积量计算及矩阵联合对角化。

图3 角度估计RMSE和距离估计NRMSE随采样数变化曲线

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