重力对具有表面层的半空间中Rayleigh波的影响

寿 旋，夏唐代

(1.浙江大学 软弱土与环境土工教育部重点实验室，杭州 310027)2.浙江大学 岩土工程研究所，杭州 310027)

Rayleigh波是由非均匀的平面P波和平面SV波干涉叠加而成的一种面波，由Rayleigh在1887年首先发现，Rayleigh波在地震学，地球物理学和岩土工程等领域有着重要的价值，并且取得了广泛的研究成果［1－4］，特别是在勘察领域，由于表面波探测法具有效率高、无破损和费用低等优点且避免了室内试验由于取样导致的试样应力释放和扰动等缺点，因而在工程物探和地球物探等方面得到了广泛的应用，但是在这些研究和应用中一般忽略了重力的影响，然而在实际应用表面波法进行原位测试时重力的影响是不可避免的，因此研究重力对Rayleigh波的影响具有很大的理论和实际应用价值。

Bromwich［5］最先研究了重力对Rayleigh波的影响，在研究中Bromwich把重力作为一种体力，并假设介质为不可压缩。LOVE［6］研究了重力对表面波的影响，也把重力作为一种体力，并且通过简化分析指出了当波长足够大时重力对Rayleigh波速存在较为明显的影响。Biot［7］利用应力增量理论研究了重力对 Rayleigh波的影响，De 和 Sengupta［8，9］，Datta［10］利用 Biot的基本方程和假设也进行了相应的研究。Dey和Sengupta［11］得到了横观各向同性介质在重力影响下Rayleigh波的波速方程，这些研究中介质都是单层且均匀的。关于重力对具有表面层的半空间中Rayleigh波的影响则至今未见研究报道，由于地壳一般为非均质的，因此研究重力对分层介质中Rayleigh波的影响具有重要意义，也更加符合实际情况。

本文从Biot的基本方程出发得出了重力影响下具有表面层的半空间介质中Rayleigh波的弥散方程，然后通过数值计算的方法分析了泊松比和层的厚度对考虑了重力作用的Rayleigh波的影响。

1 基本方程

考虑M、M'两种均匀各向同性弹性固体介质，其中M'为半无限空间，而M为位于M'上方厚度为H的层状介质，两者在交界面处位移和应力连续。具体模型如图1所示。

图1 坐标系及几何尺寸示意图Fig.1 Coordinate system and schematics

本文只考虑沿x1方向传播的Rayleigh波，为平面波，因此非零位移分量为 u1和 u2，且 u1，u3仅由x1，x3以及时间t决定。平面应变问题的运动微分方程为［7］:

式中g为重力加速度，ρ为介质的密度。

引入势函数φ和ψ，它们与位移分量u1，u2之间的关系为:

把式(2)，式(3)代入式(1)得:

式中:

2 方程的求解

2.1 表面层中的势函数解

由于φ，ψ为表面波的势函数，因此方程(4)的解可以表示为如下形式:

把式(5)代入式(4)可得:

上式系数间有如下关系:

±η1，±η2为如下方程的根:

2.2 半空间中的势函数解

这里约定带上标“'”的量为M'中的量，由于M'介质为半空间，因此φ'，ψ'在x3→∞时必须趋向于无穷小，与表面层中的解类似φ'，ψ'可分别写成如下形式:

式中:η'1，η'2为如下方程的正实数根:

2.3 边界条件及弥散方程

(1)x3=－H处为自由表面，因此:

s13=s33=0，x3= －H 时。

(2)x3=0处两侧应力与位移连续，因此

u1=u'1，u2=u'2，x3=0 时。

s13=s'13，s33=s'33，x3=0 时。

由边界条件结合式(6)、式(9)可得:

式中:

要使式(11)中 A1，B1，C1，D1，B'1，D'1有非零解下式必须成立

式(13)即为在重力影响下具有表面层的半空间中Rayleigh波的弥散方程，显然Rayleigh波的波速除了受到介质本身物理参数和几何参数的影响外还受到了重力的影响。

特别的，当忽略重力的影响，即g→0，则可以得到:

与此同时，α1→0，α2→∞，α'1→0，α'2→∞

因此:

由式(14)，式(15)可知式(13)将转化为与Ewing等人得到的方程［1］完全等价的形式。

3 数值计算

由于式(13)所对应的方程是一个超越方程，因此一般情况下不能得到Rayleigh波波速关于频率的解析表达式，但是在给定了适当的物理参数以及几何参数之后，利用数值方法可以得到Rayleigh波在重力影响下的弥散曲线，以及各参数的影响。本文数值计算时采用了MATLAB软件。

3.1 泊松比的影响

设介质M及M'的物理、几何参数如下式所示:

式中μ，μ'分别为介质M及M'的泊松比。

图2 μ=μ'=0.2时的弥散曲线对比图Fig.2 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.2

图3 μ=μ'=0.33时的弥散曲线Fig.3 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.33

图4 μ=μ'=0.46时的弥散曲线Fig.4 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.46

图2为泊松比等于0.2时，考虑重力影响与忽略重力影响情况下的Rayleigh波弥散曲线的对比图，由图中可知当泊松比为0.2时重力使Rayleigh波的波速在同波长条件下比忽略重力时小，变化趋势为在波长较小时这种影响也较小，随着波长的增大重力的影响也逐渐增大。图3为泊松比等于0.33时考虑重力影响与忽略重力影响情况下的Rayleigh波弥散曲线的对比图，由图中可以看出此时重力对Rayleigh波弥散曲线影响很小。图4为泊松比等于0.46时，考虑重力影响与忽略重力影响情况下的Rayleigh波弥散曲线的对比图，由图可知当泊松比为0.46时在重力影响下同波长的Rayleigh波波速比忽略重力时大，与泊松比为0.2时类似，其影响也随波长的增大而增大。由计算可得当泊松比为0.2，波长为6000 m时，考虑了重力影响的Rayleigh波波速比忽略重力影响时减小了2.4%，而当泊松比为0.46，波长为6000 m时，考虑了重力影响的Rayleigh波波速比忽略重力影响时增加了1.7%，因此在地球物探，地震工程等大尺度领域忽略重力对Rayleigh波波速的影响将产生较大误差，而对于工程物探等方面由于一般探测深度较小重力的影响可以忽略。综上所述泊松比对重力作用下Rayleigh波弥散曲线有重要影响，即泊松比不同时重力对Rayleigh波波速的影响结果也不同。

3.2 表面层厚度的影响

设介质M及M'的物理、几何参数如下式所示:

图5，图6分别为表面层厚度H为50 m和100 m时的Rayleigh波弥散曲线的对比图，结合图2可知，H由10 m增大到50 m及100 m时在重力影响下的Rayleigh波弥散曲线发生了明显变化，且在同波长的条件下重力对弥散曲线的影响也随H的增大而变得更加明显。图7为无量纲化后H为10 m，50 m和100 m时的Rayleigh波弥散曲线的对比图，由图中可以看出忽略重力的情况下这三条弥散曲线完全重合，而在考虑重力的影响后弥散曲线并不重合，并且在波长层厚比相同的情况下，层厚较大者波速较小，即受重力影响较大，这主要是由于相同波长层厚比时层厚大的所对应的波长也大。可见，表面层的厚度对重力影响下的Rayleigh波弥散曲线有明显影响，并且变化规律与不考虑重力时有明显不同。

图5 H=50 m时的弥散曲线Fig.5 Comparison chart of dispersion curves for H=50 m

图6 H=100 m时的弥散曲线Fig.6 Comparison chart of dispersion curves forH=100 m

图7 H=10 m，50 m，100 m 时Fig.7 Comp的ari无son量 c纲ha化rt 弥of 散no曲ndi线mensionalized dispersion curves for H=10 m，50 m，100 m respectively

4 结论

本文研究了重力影响下具有表面层的半空间中的Rayleigh波的影响，得到了在此情况下的Rayleigh波弥散方程，并且通过数值方法得到了不同情况下的弥散曲线，通过分析得到了如下结论:

(1)当忽略重力影响时文中所得出的Rayleigh波弥散方程将与经典情况下的方程一致;

(2)泊松比对重力作用下Rayleigh波弥散曲线有重要影响，泊松比较小时重力使Rayleigh波的波速减小，泊松比较大时重力使Rayleigh波的波速增大;

(3)重力对Rayleigh波波速的影响随波长的增大而增大，地球物探，地震工程等大尺度领域忽略重力对Rayleigh波波速的影响将产生较大误差，而对于工程物探等方面重力的影响可以忽略;

(4)无量纲化后不同表面层厚度所对应的弥散曲线互不重合，这与不考虑重力时有明显不同。

以上研究内容初步揭示了重力对Rayleigh波弥散曲线的影响规律，对面波法的应用具有重要的理论和参考价值。

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