个体风险模型中总索赔额分布函数的估值问题

赵丽霞

（山西大学商务学院，山西太原 030031）

0 引 言

的基础上，对S的分布函数FS（x）的取值范围进行了探讨。

1 主要结果

引理1 若Xi（i=1，2，…，n）相互独立，服从参数为λ的指数分布，则X1+X2+…+Xn服从参数为（n，λ）的Γ分布，其分布函数为:

证明

证明

引理3[7]若对于任意的x（x≥0），有

即F（x）为NBUE（NWUE）类分布，则对于任意的x（x≥0），有

G（x）——指数分布函数，其参数为λ。

首先，作为文献[3-6]的推广，我们研究个体理赔额服从指数分布下总理赔额概率密度的确定问题。

证明 由引理1和引理2易知

下面在Xi的分布函数为抽象函数F（x）的基础上，讨论总理赔额的分布函数的估值问题。

证明 由卷积公式及数学归纳法易知

因此

另一方面

定理3 若对于任意的x（x≥0），有

即F（x）为NBUE类分布，N服从参数为β的Logarithmic分布，则对任意的x（x≥0），有

其中

证明 易知Logarithmic分布的分布律组成的数列{pn}是单调递减数列，即

由引理3，可得

另一方面，由引理2和引理3，得

另由文献[8]可知:

定理4 若对于任意的x（x≥0），有

即F（x）为NWUE类分布，N服从参数为β的Logarithmic分布，则对于任意的x（x≥0），有

其中

2 结 语

保险系统中，总索赔额的分布函数是保险费率厘定的基础，因此对其进行研究是完全有必要的。但是，通常情况下总索赔额分布函数的精确表达式是很难得到的。文中在一些基本假定下，探讨了总索赔额分布函数的估值问题，推导出了它的上、下界，为费率厘定提供了基础。当参保人数为一般的计数过程时，总索赔额分布函数的估值是要进一步研究的内容。

[1] 杨静平.非寿险精算学[M].北京:北京大学出版社，2006.

[2] Cai J，David C，Dickson M.Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the sparre andersen model with interest[J].Insurance:Mathematics and Economics，2003，32:61-71.

[3] 王志忠，刘裔宏.保险系统的损失分布模型[J].经济数学，1997（2）:55-58.

[4] 吴和成.保险系统的一个损失分布模型[J].系统工程，2003，21（1）:94-97.

[5] 刘维奇，史金凤.保险系统的两类损失分布模型[J].山西大学学报:自然科学版，2005，28（3）:247-252.

[6] 李东梅，刘维奇.保险系统损失分布模型新探[J].系统工程，2004，22（2）:20-22.

[7] Barlow R E，Proschan F.Statistical theory of reliability and life testing[M].New York:Holt，1975.

[8] Ross S M.Stochastic process[M].New York: John Wiley&Sons，1983.