对电池老化时欧姆表测量误差的计算和分析

潘积亭

（杭州第十四中学 浙江 杭州 310006）

而电池老化时d E负，d r正，故d RS恒正，即RS递增．再由（12）、（13）和（15）式得

由式（22）可得

RS＝

关于电池老化对欧姆表测量的影响，刊文多指串联调零简单表（如2009年高考天津卷试题），其结论是在电池用旧时电阻测值显著偏大（与电池内阻无关）．而实际表并非如此简单，本文将作具体分析．

1 欧姆表电阻测量原理及误差产生机理

如图1，设电池电动势和表内总阻处于标称值E0和RM0，Im0和Igm分别为调零时电路总电流和表头电流．令电路中电流变换系数为，则有

图1 欧姆表标称态调零

串入电阻Rx0时表头电流

由（1）、（2）式得

电池老化并经调零后，E0，K0和RM0分别变为E，K和RM（图2）．串入同一电阻Rx0时表头电流变为Ig，仿（3）式推导得

若这时另以（4）式为依据，画制以中刻度R中（＝RM）的欧姆表尺．则Ig在新欧姆表尺上所示的测量值［（4）式左边的量］还是Rx0．而实际是仍在原欧姆表尺（R中＝RM0）上按（3）式（以Ig代Ig0）示值，则测量值变为新值Rx

图2 欧姆表常态时调零

由（5）、（4）两式比，即得在电池老化的欧姆表上测电阻Rx0时的测量值为

测量的绝对误差

相对误差为

式（8）中ΔRM＝RM－RM0是指当时欧姆表总阻RM对标称总阻RM0的变化量．

2 表内总阻R M的计算式

如图2，RS为调零电路总分流电阻，调零回路内电阻之和R回＝Rg0＋RS0＋RP，RT为配挡分流电阻，RgSf为调零电路与Rf串联总阻，r为电池内阻，则而（见附录）

3 求电池老化引发表总阻的变化量ΔR M

对（11）和（9）式两边微分，得

在（10）式中，令b＝4R回Rf，以E和r为变量，对该式两边微分，得

一般欧姆表共用一个1．5 V电池供电的有四挡（图1，图2）．现粗算R×1k和R×1两边端挡中的ΔRM．

［×1k挡］，因调零电路电阻R（k）调（≥104Ω）远大于r，使（11）式中r可略计，整式可简写为

微分之有

又其分流电阻R（k）T（≥104Ω）r，使 （10）式中C≈1，由（9）～ （11）式知R（k）调也与r无关，仅随E而变．

［×1挡］，因R（1）T使（11）

微分之有

4 电阻测量误差的计算和分析

4． 1 ［R×1k挡］

先从（14）式知负决定于上式（调零电路）中（R回－2RS）的正负．下面分两类：

而电池老化时d E负，d r正，故d RS恒正，即RS递增．再由（12）、（13）和（15）式得

以 MF－30B表［1］为例，Rg0＝2 kΩ，RT＝1．7 kΩ，RS0＝4．3 kΩ（故R回＝8 kΩ，RS0﹥），Rf＝23．2 kΩ，R（k）T（无）＝ ∞，Im＝3．75×10－5A，

gR（k）M0＝25 kΩ，由（10）、（9）、（11）、（17）和（8）式算得 与E对 应 的RS，R（k）调，R（k）M和值，画出R（k）M－E 和图像（图3）．

图3 MF－30B表R×1k挡R（）－E 和－E 图像k M

图3 显示R（k）M随E（减小）单调减小，ΔRM（＝RM－RM0）先正后负．测值Rx先偏小后偏大，最大误差1．2%．

当E ＞1．58 V（R（k）M＜R（k）M0）时，测值Rx偏大；在1．58＞E＞1．31 V（R（k）M＞R（k）M0）间，Rx偏小；E＜1．31 V时，Rx又偏大．最大误差0．46% ．

图4 108－T－1表R×1k挡R（）－E 和图像k M

另有如500－F表［1］，虽调零电路和R（k）M－E 图像也有上表特点，但因R（k）T较小，使R（k）M峰值近小于该表标称总阻R（k）M0，故电阻测值Rx始终偏大．

再有如 MF50－1表［1］，虽R（k）M峰值大于R（k）M0，但因R较近于，峰值偏近高E端（相当于图4中S0图像右移），在新换电池时R（k）M＞R（k）M0，随着电池用时长呈现R（k）M＜R（k）M0，电阻测值会先偏小后偏大．

4． 2 ［R×1挡］

图5 实测两类5号干电池的r－E图和MF－30表R×1挡－E图像

通常设计时，定r0为0．6Ω（有熔丝时另加）．而r与电池结构型号有关．如图5用5号普通电池，从新置 （E＞1．5 V）经标称值（1．5 V）到用旧不能调零，r从r ＜r0增到r＞r0，ΔR（1）M≈Δr＝r－r0从负变到正，测值Rx先偏大，后偏小．若用优质碱性电池，r较小，在该挡调零域内，r恒小于r0，始终有RM＜RM0，使Rx一直偏大．以 MF－30B表为例，R（1）M0＝25Ω，用普通电池时，最大误差发生在最低极限调零电动势E低＝1．36 V时，在图5中对应r＝1．1Ω，Δr＝0．5Ω，由（15（1））和（8）式得2%（偏小）．而用优质电池时，E低＝1．30 V，由图5知r＝0．5Ω，Δr＝－0．1（偏大）．倒是用新电池时

1．6%（也偏大）最大．

4． 3 ［R×100挡］和［R×10挡］

虽在该两挡算误差时都需计及ΔR调与Δr，但测值偏向特点分别近于R×1k挡和R×1挡，且误差值均较小；最大误差分别小于0．5%和1%．

综上知，实际欧姆表在电池老化过程中电阻测值的偏向与电表调零电路参数和电池质量等因素有关，使各表各挡测量值偏向和误差值也会有别，但其误差值都不大．所有这些与简单欧姆表均有较大差异．

附录：调零电路总分流电阻RS算式［即文稿中（10式）］的推证

如图2所示，由欧姆定律得

电路总电流为

通过Rf电流为

由（11）式得

由式（22）可得

RS＝

1 李东炜，等．万用表使用维修手册．北京：中国计量出版社，1995．183，303，328，201