带有临界指数的加权拟线性问题正解的存在性

康东升，沈小凤，杨 芬

(中南民族大学数学与统计学学院，武汉430074)

1 问题的引入

本文研究了下列椭圆方程:

其中Ω⊂RN(N≥3)是包含原点的有界光滑区域，是临界Hardy-Sobolev指数，f(x)是非负连续函数.

在全文中假设:

(H2)f∈C(¯Ω)，f(x) ≥0，且在 Ω 中f≠0.

W=W1a，p(Ω，|x|－ap)是C0∞(Ω)关于范数|x|－ap|▽u|pdx)1/p的完备化空间.在W中定义问题(1)的能量泛函为:

那么J∈C1(W，R)，如果对∀v∈W有〈J'(u)，v〉=0成立，那么u∈W称为问题(1)的解，即求问题(1)的解就等价于求J的非零临界点.由椭圆正则性理论知u∈C1(Ω{0}).

研究问题 (1)的重要工具是Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式［1］:

当b=a+1时p*(a，b)=p，上式变为著名的Hardy不等式［1］:

当μ＜时，空间W中的范数定义为:

由(2)式和(3)式，当μ＜¯μ时，可以定义最佳常数［2，3］:

那么S＞0.

参照文献［4］作如下定义:

其中|Ω|是Ω的Lebesgue测度.

本文的主要结果可以总结为下面的定理1.

定理1假设(H1)和(H2)成立，则存在λ＞0，使得对任意的λ∈(0，Λ1)，问题(1)存在一个正解.

在下面的讨论中，我们常常用C来表示正常数，为了简单起见，我们省略掉积分号中的“dx”.

2 预备定理

首先考虑映射:φλ:W→R，满足:

结合问题(1)考虑:

并将Nλ分成3 部分［5］:

那么Nλ包含问题(1)的所有解，u∈Nλ当且仅当:

引理1对任意的λ∈(0，Λ1)有Ø.

证明用反证法，假设∃λ0∈(0，Λ1)使得≠ Ø，则N0λ⊂W且当u∈时有:

从而有:

则由Holder不等式及(2)式得:

并且，

因此就有:

这与λ0∈(0，Λ1)矛盾，从而对任意的λ∈(0，Λ1)有Ø.证毕.

由引理1知，对任意的λ∈(0，Λ1)有Nλ∪，定义:

引理2(i)对∀λ∈(0，Λ1)有αλ≤＜0.

(ii) 存在依赖于 λ，μ，p，q，N，S，|f|∞和|Ω|的常数d0＞0，使得对∀λ∈(0，Λ1)有＞d0.

证明(i)令u∈，由(7)式知:

又由(6)式得:

因此，根据αλ和的定义有αλ≤＜0.

式知:

根据S的定义，得到:

由(9)式和(10)式可以推出:

从而由(7)式及(11)式有:

即J(u)＞d0，∀u∈，

其中d0=d0(λ，μ，p，q，N，S，|f|∞，|Ω|) 是正常数.证毕.

对任意u∈W使令:

引理3［6］假设λ ∈(0，Λ1)，函数u∈W满足

3 定理的证明

引理4 (i)若λ∈(0，Λ1)，那么泛函J存在(PS)αλ序列{un} ⊂Nλ.

证明过程可参考文［7］.

引理5若 λ∈ (0，Λ1)，则J存在极小值点u0∈Nλ+满足:

(i)J(u0)=αλ=.

(ii)u0是问题(1)的一个正解.

(iii)J(u0) →0，当 λ →0+.

证明由引理4(i)，对泛函J存在极小化序列{un}⊂Nλ使得:

因此序列{un}是有界的，且存在一个子序列(仍记为{un})，从而存在u0∈W使得:

首先，证明u0是问题(1)的一个非平凡解.由(12)式和(13)式易知u0是问题(1)的解，令{un}⊂Nλ，则有:

在(14)式中令n→∞，由(12)式和(13)式及αλ＜0有:

因此，u0∈Nλ是问题(1)的一个非平凡解.

现证明在W中un→u0(强收敛)且J(u0)=αλ.令u0∈Nλ，由 Fatou 引理有:

即J(u0)=αλ且.令vn=un－u0，由Brezis－Lieb引理得:

从而在W中un→u0(强收敛)，且u0∈.否则，假设u0∈，由引理3(ii)，存在唯一的和使得t－u∈和t+u∈.特别地，当1时，

产生矛盾，因此J(u0)=J(|u0|)且|u0|∈N+λ，由引理4知u0是问题(1)的一个非负非平凡解.由强极致原理得u0＞0在Ω中，且当λ＞0时u0是问题(1)的一个正解.又根据引理2(i)和(7)式得出:＜0，

上式意味着J(u0)→0，当λ→0+.

定理1的证明 由引理5知存在λ＞0，使得对任意的λ∈(0，Λ1)，问题(1)存在一个正解.

［1］Catrina F，Wang Z.On the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities:sharp constants，existence(and nonexistence)，and symmetry of extermal functions［J］.Comm Pure Appl Math，2001，54:229-258.

［2］Kang D.On the quasilinear elliptic problems with critical Sobolev-Hardy exponents and Hardy terms［J］.Nonlinear Anal，2008，68:1973-1985.

［3］Kang D.Positive solutions to the weighted critical quasilinear problems［J］.Appl Math Comput，2009，213:432-439.

［4］Cao D，Han P.Solutions to criticalelliptic equationswith multi-singular inverse square potentials［J］.JDifferential Equations，2006，224:332-372.

［5］Rodrigo da Silva Rodrigues.On elliptic problems involving critical Hardy-Sobolev exponents and sign-changing function［J］.Appl Math，2010，73(4):857-880.

［6］Wang L，Wei Q，Kang D.Multiple positive solutions forp-Laplace elliptic equations involving concave-convex nonlinearities and a Hardy-type term［J］.Nonlinear Anal，2010，74(2):626-638.

［7］Brezis H，Nirenberg L.Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents［J］.Comm Pure Appl Math，1983，36:437-477.