突变分支过程常返性的一个证明

邹杨，许安见

（1重庆教育学院经济贸易系，重庆400067；2重庆邮电大学数理学院，重庆400065）

20世纪80’，Brockwell等人研究了一类具有突变率的生灭分支过程，其保守q-矩阵

其中IA指集合A的特征函数，λi指生长系数，μi指灭亡系数，di为非负数表示突变率。假设μ0＝d0＝0，数cij（j＝0，1，…，i-1，i≥1）是非负的且满足cij表示从状态i转移到状态j的突变概率。我们假设λi＝a+ai，μi＝0，di＝d，i≥0，cij＝1/i，j＝0，1，…，i-1，得到一种具有固定突变率的线性生长分支过程，简称为突变分支过程。

定义1［2］突变分支过程

状态空间E＝Z+＝｛0，1，2，…｝，其转移函数是P（t）＝｛pij（t）；i，j∈E＝Z+｝

并且满足Kolmogorov前向方程：P′（t）＝P（t）Q

而其q-矩阵Q＝（Qij；i，j∈E）定义为：

其中：a＞0，d＞0

定义2［3］常返性

引理1［2］C是一个相通类，设Q＝（Qij；i，j∈E）在C上保守，则下面结论等价：

（1）C对于fij（t）是常返的；

（2）对于每一个a∈C，方程

不存在非常数的有界解，j∈C。

引理2［3］（Reuter，1957）假设｛fn，n≥1｝，｛gn，n≥1｝，｛hn，n≥1｝是非负数列，z0和z1是两个数，满足0≤z0＜z1。定义数列｛zn，n≥2｝如下

则数列｛zn，n≥0｝是有界的当且仅当

其中

定理当d≥2a时，则Q＝（Qij；i，j∈E）是常返的；

当d＜2a时，则Q＝（Qij；i，j∈E）是瞬时的。

由突变分支过程q-矩阵定义，i＝1，噎，n，噎可表示为如下矩阵：

其中：当i＜j-2时，qij＝0

由引理2，｛xn｝有界当且仅当

当d＝2a时，xn+1-xn＝xn-xn-1，取｛xn｝＝（0，0，…），方存在常数有界解，从而Q常返。

故当d＜2a时，则Q＝（Qij；i，j∈E）是瞬时的；当d≥2a时，则Q＝（Qij；i，j∈E）是常返的。

［1］Chen An-yue，Zhang Han-jun，Existence，Uniquness，and Construction for Stochastically Monotone Q-Processes［J］，Southeast Asian Bulletin ofMath，1999，23：559-583.

［2］邹杨，李扬荣，许安见.突变分支过程导出的积分半群及其性质［J］西南大学学报（自然科学版），2010.

［3］Anderson W.J.，Continuous-time Markov Chains［M］，New York：Spring-Verlag，1991.