太阳处在“圆心”的合理性

张智奇

(忻州市第一中学 山西 忻州 034000)

郝占朋

(大理市第一中学 云南 大理 671003)

在人民教育出版社《物理·必修2》第六章第一节行星的运动中，把开普勒行星运动定律做了近似处理：以太阳为圆心，地球绕太阳做圆周运动.这样做合理吗?下面，采用三种方法来论证，说明这样处理的合理性.

1 理论计算

为了问题的简便，不考虑其他星体的影响，那么太阳与地球间的问题属于双星问题.在万有引力的作用下，为了保持各自的稳定，他们必然绕他们之间的一个不动点各自做圆周运动，如图1所示.那么如何计算这个不动点的位置呢?

1.1 常规算法

由高中的知识(双星系统中角速度相同)并结合图1，图中S表示太阳中心，其质量为M;E表示地球，其质量为m；O为二者的共同圆心；SO长为r1，EO长为r2，SE长为r.根据万有引力公式很容易列出以下三式

图1

r1+r2=r

(1)

(2)

(3)

由(1)～(3)式得

(4)

1.2 质心法

质心的定义

将上式求二阶导数得

其中M总为系统的总质量，F合为系统所受合外力.

由上式知

M总ac=F合

如果把太阳与地球看做一个系统，此系统不受外力的作用，此系统的质心只能做匀速直线运动或静止，根据常识，此系统的质心只能静止的.从而太阳和地球都绕其质心做圆周运动.如图1所示，建立一维坐标系Ox来求质心，得

(5)

至此，根据(4)、(5)式，可以发现太阳到不动点(质心)的距离的表达式是一样的.可以知道太阳的质量mS=1.97×1030kg，半径rS=6.963×108m，地球的质量mE=6.68×1024kg，地球与太阳间的距离为rSE=1.49×1011m.

将以上数据代入(4)、(5)式可得

r1=rc=4.6 km

rc≪rS，可见，质心离太阳的中心很近，太阳绕其内部的某一点转动.由此可以看来，把太阳的中心看做地球绕其做圆周运动的圆心是可以的.

1.3 坐标系法

建立如图2所示坐标系，地球E和太阳S间绕点O运动.

图2

设地球的质量为m，太阳的质量为M，分别可得

(6)

(7)

由(6)式乘以m和(7)式乘以M得

(8)

(9)

(8)式减去(9)式得

以太阳为圆心，将式变形为

(10)

一般情况下，M≫m,故

(10)式近似表述为

所以，把太阳的中心近似为地球绕其作圆周运动的圆心是可以的.

2 理论拓展

以上推导是以太阳和地球为研究对象，且不考虑其他星球的影响.如果考虑到其他星球的影响，那么太阳还是各行星做圆周运动的中心吗？(r是轨道半径，rc是太阳中心到质心距离)

表1 各行星计算数据

由以上数据知太阳与每一个行星组成的双星系统中，其质心都在太阳(rS=6.963×105km)的内部或表面，所以太阳可以看做是所有这些行星做圆周运动的中心.

1 贾书惠.理论力学教程.北京：高等教育出版社，2008

2 赵凯华，罗蔚茵.力学.北京：高等教育出版社，2006