妙用另类加速度 巧解“匀”变速运动

李维兵

(南通高等师范学校 江苏 南通 226100)

历史上有些科学家曾把在相等位移内速度变化相等的单向直线运动称为“匀变速直线运动”(现称“另类匀变速直线运动”)，

另类加速度表达式为

其中v0和vt分别表示某段位移x内的初速度和末速度.A>0表示物体做加速运动，A<0表示物体做减速运动，且A不变 .伟大的物理学家牛顿也曾经在他的名著《自然哲学的数学原理》一书中写到：如果一个物体受到的阻力与其速度成正比，则阻力使它损失的运动正比于它在运动中所掠过的距离.下面证明之.

设物体所受力F=kv

由牛顿第二定律得F=ma

即

取Δt很短 ，则

设Δx为在很短的时间Δt内发生的位移，即

Δx=vΔt

则

对上式两边求和，可得

故整个过程速度的变化和位移之间的关系为

1 流体阻力作用下的另类匀变速直线运动的探究

【例1】质量为 0.5 t的摩托艇，在水面上以30 m/s速度行驶，摩托艇受到的阻力与速度成正比，其比例系数为200 N·s·m-1.问：在关闭发动机后，摩托艇还能向前滑行多远距离？

分析：本题研究的是摩托艇从制动到停止的过程.在这个过程中，摩托艇所受的阻力是随速度的变化而变化的，属于变加速直线运动，加速度a是变化的，用原有的运动学公式不可以求解；但是通过分析发现，阻力与速度的比例系数与质量的乘积是定值，即另类加速度恒定，应属于另类匀变速直线运动.

解析:由题意

由公式vt-v0=Ax，可得

在关闭发动机后，摩托艇还能向前滑行75 m.

2 安培力作用下的另类匀变速直线运动的探究

【例2】如图1所示，导体棒MN放在光滑的金属导轨上，导轨足够长，除电阻R外，其他电阻不计.整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，若导体棒MN的质量为m，长为L，给MN棒一个水平向右的初速度v0，因感应电流作用，MN棒将减速运动，求导体棒向前滑行的距离.

分析：本题研究的是导体棒在安培力作用下的减速过程.在这个过程中，导体棒所受的安培力是随速度的变化而变化的，属于变加速直线运动，加速度a是变化的，用原有的运动学公式不可以求解；但是通过分析发现安培力与速度成正比，其比例系数与质量的乘积是定值，即另类加速度恒定.应属于另类匀变速直线运动.

图1

解析：由题意可知

即

且F安与v反向.

由公式vt-v0=Ax可得

3 另类加速度在多个力作用下的变速运动中巧妙应用

【例3】设质量为m的雨滴从高处由静止开始竖直下落，所受空气阻力f和其速度v成正比，经H高度速度达到稳定.重力加速度为g，求：

(1)达到稳定时的速度；

(2)经多长时间达到稳定.

分析：本题研究的是雨滴下落模型.在整个过程中，雨滴受重力和空气阻力两个力作用，其中重力不变，空气阻力和下落的瞬时速度成正比，做加速度a减小的加速，虽然阻力与速度成正比，但由于重力的存在，不满足A恒定，故该题也不属于另类匀变速直线运动.此时可以利用运动的合成和分解的思想来将该直线运动分解成只受重力的匀变速直线运动和只受阻力的另类匀变速直线运动.

解析：(1)由牛顿第二定律得

mg-kv=ma

当a=0时速度达到最大，即

(2)利用运动的分解将该运动分解成

1)只在重力作用下的匀变速直线运动，此时速度变化

Δv1=gt

2)只在阻力作用下的另类匀变速直线运动，此时速度变化

由于是同一直线运动的分解，故

Δv=Δv1+Δv2

即

解得

【例4】如图2(a)，相距为L的光滑平行金属导轨水平放置，导轨一部分处在垂直导轨平面的匀强磁场中，OO′为磁场边界，磁感应强度为B，导轨右侧接有定值电阻R，导轨电阻忽略不计.在距OO′为L处垂直导轨放置一质量为m、电阻不计的金属杆MN.若MN杆在恒力作用下由静止开始向右运动，其速度-位移的关系图像如图2(b)所示，则

(1)在此过程中电阻R上产生的电热Q1是多少？

(2)MN杆从开始运动到离开磁场所用的时间是多少？

图2

分析：本题涉及到两个过程中，导体棒在磁场中的做加速度a减小的加速运动，离开磁场后做恒力F作用下的匀加速直线运动.在磁场中导体棒在水平方向受恒力和安培力两个力作用，其中安培力和物体运动的瞬时速度成正比，做加速度a减小的加速，虽然安培力与速度成正比，但由于恒力F的存在，不满足A恒定，故该题也不属于另类匀变速直线运动.此时也可以利用运动的合成和分解的思想来将该水平方向的直线运动分解成只受恒力F的匀变速直线运动和只受安培力的另类匀变速直线运动.

解析：(1)MN杆在位移L到3L的过程中，由动能定理

MN杆在磁场中发生L过程中，恒力F做的功等于MN杆增加的动能和回路产生的电能

(2)MN杆在离开磁场前，水平方向上受安培力F安和外力F作用，将该运动分解成

1)只在恒力作用下的匀变速直线运动，此时速度变化

由于在同一直线上的分解，故

Δv=Δv1+Δv2

即

解得

4 应用另类加速度巧解高考压卷题

【例5】(2009年高考江苏卷第15题)如图3所示.

图3

两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、 足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为α，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直.长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“┬▭”型装置，总质量为m，置于导轨上.导体棒中通以大小恒为I的电流(由外接恒流源产生，图中未画出).线框的边长为d(d

(1)装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；

(2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1；

(3)经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm.

解答：命题者提供的解答：(1)、(3)略.

(2)采用微元法求解：设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d.

由动能定理

装置在磁场中运动时受到的合力

F=mgsinα-F′

感应电动势ε=Bdv

安培力F′=BI′d

由牛顿第二定律，在t到t+Δt时间内，有

解得

分析：本题是2009年江苏高考最后一题，难度相当大，主要原因就是线框在穿越磁场区域时做加速度a减小的加速直线运动，这在高中阶段用常规的运动方法是无法解答的，而命题者命题的意图是采用了微元的思想，而在高中阶段，微元法解题是学生的一个难点.现在分析可知，线框在磁场中沿斜面方向受重力沿斜面的分力和安培力两个力作用，其中重力沿斜面的分力是恒定的，安培力和物体运动的瞬时速度成正比，故跟上面的规律相似，可以利用运动分解的思想来将该斜面方向的直线运动分解成只受恒力的匀变速直线运动和只受安培力的另类匀变速直线运动.

解析：设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d.

由动能定理

在此过程中，线框在离开磁场前，在斜面方向上受向上安培力F安和沿斜面向下的重力的分力作用，将该运动分解成

1)只在重力沿斜面分力F=mgsinα作用下的匀变速直线运动，此时速度变化

Δv1=gsinαt1

由于在同一直线上的分解，故

Δv=Δv1+Δv2

综上所述，另类加速度可以用于解决变速运动的题型，它的适用条件是研究对象所受的合力或者是它受到的某个力要符合与物体的瞬时速度成正比关系，比如像流体的阻力、匀强磁场中的安培力等.