关于茹科夫斯基凳实验以及相似实例的讨论

张九铸

(金川集团公司龙门学校 甘肃 金昌 737100)

1 问题的提出

一般力学教材中都有这样的实例：一人站立在绕竖直定轴转动的水平转台上(设其身体的对称轴沿着转台的定轴)，两手各握一个哑铃，并且两臂平伸，起初人与转台一起以角速度ω0转动(图1).现将两臂收缩，整个系统的角速度将增大[1～2].这就是茹科夫斯基凳实验(一般的茹科夫斯基凳是可以转动的椅子).

图1

一般文献都将此类现象作为角动量守恒的典型实例.但是，文献[2]在解释整个系统的角速度的变化时，将具体原因归结为哑铃或人受到的科里奥利力.文献[3]解释了类似的实例：舞蹈表演或滑冰表演中，演员常绕自身轴转动.如果此时将双手抱于胸前，其旋转就会加快[3].文献[3]在解释时选择了如图2所示的物理模型(细绳通过桌面上的小孔向下拉小球).笔者认为，这种简化显得过于粗糙.因为，如果将人的两臂简化为质点，并且认为两臂和躯干之间只存在沿着绳子的径向力，则虽能使角动量守恒，但受力情况与实际情况可能有差别.

下面，笔者主要对前一实例进行定量讨论，给出转台的角速度、角加速度的表达式及引起转台角速度变化的力的表达式，讨论系统动能的变化.后一实例的实质其实与前一实例相同.

图2

2 简化模型

将转动平台、人和哑铃组成的系统简化为如图3所示模型：设转台上沿着直径刻有直槽AB，两个小球沿着直槽趋向转轴O.某一时刻t，其中一个质点P1的相对速度为vr，与O的距离为r.以竖直向上为转台的转动正向，转台的角速度为ω，角加速度为β.忽略转轴受到的摩擦力矩.

以地面为参考系.首先只研究小球P1的运动.P1做平面曲线运动.建立平面极坐标系，如图3所示，er，eφ是径向和横向单位矢量.设P1受到直槽的横向推力为N，同时受到径向作用力Fr，其方向假定如图3所示.P1的横向加速度为

(1)

图3

由牛顿第二定律可知

(2)

其中，vr是vr的模.设转台绕定轴O的转动惯量为IO，由定轴转动定理，对转台有

将式(2)代入上式，整理得到

(3)

4mωrdr=-(IO+2mr2)dω

(4)

设P1的初始运动条件为t=0时，r=r0，ω=ω0，对上式分离变量求积分，得到

(5)

显然，式(5)正是对整个系统运用角动量守恒定律的结果.将式(5)代入式(3)得

(6)

式(5)和(6)均表明，转台的角速度和角加速度都随r的减小而增大.将式(5)、(6)代入式(1)，求得P1的横向加速度和受到直槽的横向力为

(7)

和

(8)

式(7)和(8)中负号说明aφ和N的实际方向与转台运动方向相反，或者说直槽受到的反作用力方向与转台运动方向相同，该力的力矩正是驱使转台角速度增加的原因.

将式(5)代入求积分，有

可见，系统的内力做正功，系统的动能增加.

3 现象的解释

图4

对于图样滑冰运动员在旋转中收缩双臂的情形，可以将上述模型略作变化，如图4所示.设人的胳膊由一个质点m和一个细杆组成，上述分析同样适用.

1 蔡伯濂.力学.长沙：湖南教育出版社，1985.234

2 (美)费因曼，莱顿，桑兹著.郑永令，等译.费恩曼物理学讲义.上海：上海科学技术出版社，2006.202～203

3 梁昆淼.力学(上册).北京：高等教育出版社，2010.148～149