组合法在电磁学中的巧用

2011-01-25赵强刘俊娟

物理通报 2011年12期

赵强刘俊娟

(石家庄机械化步兵学院河北石家庄 050083)

电磁学中的计算在根本上带有组合特点.由于电磁场的可叠加性，因此在计算各种电场、磁场时，可先将场源的基本关系进行组合，以求得最简便的处理过程.

将各种场源看作是点电荷、电流元的集合，当然是最基本的思路.但如果能够熟悉一些简单的典型场源所产生的场，如电偶极子、“无限长”均匀带电系统或电流系统，将场源看作是这些典型情况的直接组合，则不必再从头算起.这好像搭积木，一要熟悉基本构件，二要善于灵活组装.特别是，在组合场源时可以虚实并用.

图1

例如，在安培环路定理的证明中，如果电流回路与积分回路是绞套的(图1)，则可设想在c与f之间虚构一对强度为I的往返电流.这样，绞套的电流就转化为两个简单相套的电流，立即得出

∮LB·dl=2μ0I

这种虚实组合的方法，在电磁学里颇为有用，非常类似于平面几何证明题中添加辅助线的办法.只是这里是虚构，且在物理上应该是合理的，一般说来，不应该由虚构而破坏原有的物理状态.

现结合各种具体情况应用上述的组合方法,其中用无限远处作为“中转站”，做组合运算.

1 两金属球的互电容

【例1】两个半径都是a的金属球，球心相距d≫a(图2)，求二者之间的互电容.

图2

解析：为了便于比较，采用两种计算方法.

(1) 常规计算

设两球分别带电±Q，由于d≫a，作为低级近似，可以认为这些电荷在各自的球面上均匀分布.于是，在球外中心联线上的任一点p(x)，其场强方向都是沿x轴，场强大小为

而两球之间的电势差

由此即得所求的互电容为

(2)组合计算

以上计算假定各个球面上的电荷是均匀分布的，因此可以认为它们相距“无穷远”；所求电容是两个孤立小球电容串联，即

故

C=2πε0a

这里，将“无穷远”处作为一个中间的“联络站”.显然，组合计算比常规计算简洁得多.

2 内球接地的电容器

【例2】两同心金属球壳，壳厚可略；球壳半径R2>R1，若内球接地，求球壳之间的电容.

解析：所谓“接地”，是设法用极细、极长的导线与球外的地相连，而地是在“无穷远”处.当这个电容器充电时，两级之间的电势差U21即为外球壳与“无穷远”处之间的电势差U2∞.此时，不仅两极之间有电场分布，而且外球壳与“无穷远”之间也有电场分布.

于是，在这两个球壳之间并联着两个电容，即

所要求的电容，应该是它们的组合电容C.显然

3 动生电动势

【例3】一半圆形金属框，绕竖直轴以角速度ω均匀旋转，如图3(a)所示，稳恒磁场B是均匀的，且垂直图面向外.设半圆框的半径为R，求框的两个端点a，b之间的电势差.

解析：如果直接应用动生电动势的“切割磁感线”公式计算，则空间关系较繁琐，容易出错.为了能够运用法拉第电磁感应定律，可以在a，b之间虚构一条直导线，如图3(b)所示，从而构成闭合的半圆形回路.由于虚设的直导线ab在外磁场里是静止不动的，因此，闭合回路中的总感应电动势，仍然是原来半圆形金属框的动生电动势.