函数极限的若干求解方法

于吉亮，汪俭彬

（1. 河南大学 数学与信息科学学院，河南 开封 475004；2. 济源职业技术学院 基础部，河南 济源 454650）

函数极限的若干求解方法

于吉亮1，汪俭彬2

（1. 河南大学 数学与信息科学学院，河南 开封 475004；2. 济源职业技术学院 基础部，河南 济源 454650）

通过实例探讨了函数极限的求解方法，涉及迫敛性、罗比达法则、泰勒级数展开式、中值定理、定积分的定义、等价无穷小替换和收敛级数的必要条件等极限求解方法，期望能对函数极限理论的教学提供参考作用．

函数极限；泰勒级数；中值定理

函数极限理论不仅是微积分的基础，也是高等数学教学的重点和难点．本文通过实例探讨函数极限的求解方法，期望能对函数极限理论的教学提供参考．

1 利用迫敛性求函数极限

2 利用罗比达法则求函数极限

对于0⋅∞、1∞、0∞和∞-∞等不定式极限，需要先进行简单变化使其转化为熟知的00型或∞∞型不定式，再利用罗比达法则进行计算．

解：这是1∞型不定式极限问题．原式取对数可得

3 利用泰勒级数展开式求函数极限

当比式的分子、分母多次求导很繁琐时，可以考虑利用泰勒公式求函数极限，具体步骤是：先求出不定式分子、分母的各部分在x点的泰勒展开式，然后根据需要取适当的值，整理后求出不定式的极限．

此例若用罗比达法则求解，则分子的导数较繁．

4 利用中值定理求函数极限

对于一些含有积分式子或分式的极限，可考虑利用积分中值定理或微分中值定理进行求解．

5 利用定积分的定义求函数极限

6 利用等价无穷小替换求函数极限

在很多情况下，我们可以把题目中的无穷小量用

在进行等价无穷小替换时应注意，可以对不定式中相乘或相除的因式进行替换，但对极限中相加或相减的部分则不能随意替换．

7 利用收敛级数的必要条件求函数极限

求极限的方法还有很多，本文只是列举了一些简单而又常用的方法．

[1] 华东师范大学数学系．数学分析：上册[M]．北京：高等教育出版社，2001：15―56．

[2] 陕西师范大学数学系．数学分析习题解析：上册[M]．西安：陕西师范大学出版社，2003：18―82．

[3] 陈守信．数学分析选讲[M]．北京：机械工业出版社，2009：1―33．

[4] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，2001：10―89．

O171

A

1006-5261(2011)02-0079-02

2010-11-26

于吉亮（1962―），男，河南开封人，讲师．

〔责任编辑 张继金〕