带有不同阶数的异结构复杂网络的同步

李红敏，褚衍东，柳 亭，王华萍

(兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州 730070)

带有不同阶数的异结构复杂网络的同步

李红敏，褚衍东，柳 亭，王华萍

(兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州 730070)

针对带有不同阶数的异结构复杂网络，先通过降价法，把不同阶数的异结构复杂网络的混沌同步问题转换为相同阶数的异结构复杂网络的混沌同步问题，然后，基于Lyapunov稳定性理论，构造了使得复杂网络的节点达到同步的耦合函数.数值仿真结果表明，理论分析是可行的、有效的.

复杂网络；混沌同步；Lyapunov稳定性理论

现今，复杂网络备受关注.在现实世界中，我们经常会遇到和听到各种不同的网络，如Internet网、神经元网络、人际网络等[1-2].网络的动力学行为是人们研究网络的重要内容之一.在网络诸多的动力学行为当中，网络所有节点的同步问题尤为重要，近年来已成为非线性动力学研究的热点[3-5].复杂网络的同步与一般的混沌同步不同，前者是N(N≥3)个系统间的同步，后者仅仅是2个系统间的同步[6].复杂网络的一个典型特征就是拥有大量的网络节点，过去10年里，几乎所有的研究工作都是假定复杂网络具有相同的节点[7]，事实上，绝大多数的实际复杂网络节点并不完全相同，它们之间总是或多或少地存在一些差异.为了能够更好地了解和解释现实世界中复杂网络所呈现出来的各种动态特征，更好地控制现实中的具体网络，本文将对带有不同阶数的异结构复杂网络的同步问题进行研究.

1 同步分析

考虑由N个不同节点且不同阶数组成的复杂动态网络，节点i的动态方程如下：

定义 如果满足下式，就称两个系统是同步的.

根据式（1）式，任意节点s和t的系统模型分别为：

其中，xs∈Rn和xt∈Rm分别是节点s和t的状态向量；Fs:Rn→Rn和Ft:Rm→Rm是向量值函数，分别描述了节点s和t的运动情况；Hs(x1,x2,L,xN)和Ht(x1,x2,L,xN)分别是节点s和t与其它节点间的耦合函数.假设n>m，式（2）能被分解为：

这里xp∈Rm和xq∈Rl分别是节点p和q的状态向量，Fp:Rn→Rm，Fq:Rn→Rl，m+l=n.降阶后，式（2）与（3）的同步问题转换为式（4）与（3）的同步问题.

网络系统的状态误差定义为：

对ei求导，得

由Lyapunov稳定性理论知，整个网络达到了同步.

2 数值仿真

下面对含有三个节点的网络进行数值仿真，这三个节点分别为混沌Liu系统、受迫的Vander Pol系统和超混沌Lorenz系统，它们的动力学方程分别如下：

混沌Liu系统的动力学方程为：

这里a1,b1,c1,k1,h是系统（12）的参数.当参数a1= 10,b1= 40,c1= 2.5,k1= 1,h=4时，系统（12）处于混沌状态[8].

受迫的Vander Pol系统的动力学方程是：

其中μ,F,Ω是系统（13）的参数.当参数μ= 1,F= 1,Ω=2时，系统（13）是混沌的[9].

超混沌Lorenz系统的动力学方程为：

此处a3,b3,c3,k3是系统（14）的参数.当参数a3= 10,b3= 8/3,c3=28,k3= 10时，系统（14）存在混沌吸引子[10].

当仿真网络同步时，任意地选取耦合函数H1=0，这意味着第一个节点（即混沌Liu系统）为驱动系统，另外的节点为响应系统.带有不同阶数的异结构网络的节点按照式（2）相互连接.

根据方程（2）和（3），式（12）和（13）的同步问题转换为（13）和下面（15）式的同步问题：

实施耦合后，式（13）转换为式（16）：

根据式（9）知：

参数α∈ (0 ,+∞ ).仿真时，任意地选取α=2，节点大约在2.3秒达到了同步，其时间序列如图1所示，相应的同步误差曲线见图2.可以看到，由于每个节点不同的结构和不同的阶，状态变量的时间序列在2.3秒以前各不相同，然而，不久之后它们就完全相同，同步误差曲线也很快趋于0，无论网络的节点有多少，整个网络都能达到同步.

3 结 论

本文主要研究了带有不同阶数的异结构复杂网络的混沌同步问题.首先通过降价法，把不同阶数的异结构复杂网络的混沌同步问题转换为相同阶数的异结构复杂网络的混沌同步问题，然后，基于 Lyapunov稳定性问题，构造了使得复杂网络的节点达到同步的耦合函数，无论节点的个数是多少，无论何时实施耦合，网络中所有节点的相应状态变量都能达到完全一样的轨道，其同步误差也能迅速地收敛到0，也就是说复杂网络迅速地达到了同步.理论分析和数值仿真都证实了该方法的有效性和普遍性.

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[8]王琳, 倪樵, 黄玉盈. 时滞反馈Liu系统的动力学行为[J]. 动力学与控制学报, 2007, 5(3): 224-227.

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Synchronization of Certain Complex Network with Different Structures and Different Orders

LI Hongmin, CHU Yandong, LIU Ting, WANG Huaping
(School of Mathematics, Physics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

This paper aimed at chaos synchronization of a complex network with different structures and different orders. Firstly, problem of the chaos synchronization was translated into problem of chaos synchronization of a complex network with different structures and identical orders by subtract-order method. Secondly, based on the Lyapunov stability theory, the coupling function for the synchronization of connected nodes of the complex network was identified. Numerical simulation results indicated that the theoretical analysis is feasible and effectual.

Complex Network; Chaos Synchronization; Lyapunov Stability Theory

(编辑：王一芳)

TP393

A

1674-3563(2011)02-0041-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.02.008 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2010-07-11

国家自然科学基金(50474008)；兰州交通大学科研基金(DXS2010-019)

李红敏(1983- )，女，河北邯郸人，硕士研究生，研究方向：复杂网络的混沌同步与控制