关于丢番图方程x3 ±1=3Dy2

韩云娜，梁 勇

(西北大学数学系，陕西西安 710127)

关于丢番图方程x3±1=3Dy2

韩云娜，梁 勇

(西北大学数学系，陕西西安 710127)

设D是素数.主要研究丢番图方程x3±1= 3Dy2正整数解的情况.利用初等数论的方法得到了丢番图方程x3±1= 3Dy2无正整数解的一个充分条件.

丢番图方程；正整数解；素数

设N是全体正整数的集合，D是无平方因子正整数，方程

是一类基本而又重要的三次丢番图方程，有关它的研究可以追溯到Euler时代[1].文献[2]证明了当D不能被6k+1形素数整除时，方程（1）无解；文献[3-4]证明了如果p= 12r2+1（p是奇素数，r是正整数），方程x3± 1= 3py2，x,y∈N无解；文献[5]证明了如果p= 3(3k+ 1)(3k+ 2)+ 1（p是奇素数，k是非负整数），则方程x3+ 1= 3py2无正整数解.本文运用初等数论的方法证明了以下结果.

首先引入以下引理：

引理1[6]设不定方程Ax2−By2=1，A>1，A,B∈N，有解程的基本解，则方程的全部正整数解x,y可由下式给出：

定理1 设D是奇素数，若方程

无正整数解.

证明：设方程（3）的正整数解为x,y，根据Fermat小定理得x3≡x(mod3)，故从（3）式可得x+1≡ 0(mod3)，此时 gcd(x+ 1,x2−x+1) =3，且 9/|x2−x+1，故可将（3）式分解为以下两种情形：

现对以上两种情形分别讨论.

情形I：由（4）式可得：

从（6）式可知方程（2）有解 (2b, 6a2− 1).于是由定理1的条件知，若 (2,y0)是方程（2）的基本解，则根据引理1有：

情形II：由文献[7]的证明结果可知其无正整数解.因此方程（2）无正整数解.

定理2 设D是奇素数，若方程（2）有形如(2,y0)的基本解，且存在y0的素因子p，使得

无正整数解.

证明：设方程（7）的正整数解为x,y，根据Fermat小定理得x3≡x(mod3)，故从（7）式可得x−1≡ 0(mod3)，此时 gcd(x−1,x2+x+ 1)=3.根据定理1的证明，从（7）式可得：

由（8）式可得：

从（9）式可知方程（2）有解 (2b, 6a2+ 1).于是由定理2的条件知，若 (2,y0)是方程（2）的基本解，则根据引理1有：

[1]Mordell L J. Diophantine Equations [M]. London: Academic Press, 1969: 156-183.

[2]柯召, 孙琦. 关于丢番图方程[J]. 四川大学学报: 自然科学版, 1989, (2): 1-5.

[3]乐茂华. 关于Diophantine方程[J]. 保定师范专科学校学报, 2004, 17(2): 1-2.

[4]乐茂华. 关于Diophantine方程[J]. 广西师范学院学报: 自然科学版, 2005, 22(4): 22-23.

[5]陈晓化, 李志平. 关于Diophantine方程[J]. 重庆工学院学报: 自然科学版, 2009, 23(4): 44-45.

[6]Walker D T. On the Diophantine equation [J]. The American Mathematical Monthly, 1967, 74(5): 504-513.

[7]张同斌, 潘家宇. 关于丢番图方程[J]. 河南教育学院学报: 自然科学版, 1999, 8(3): 1-3.

Study on Diophantine Equationx3±1=3Dy2

HAN Yunna, LIANG Yong
(Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, China 710127)

LetDbe a prime number. Positive integer solutions of the Diophantine equationx3±1=3Dy2were studied. And a sufficient condition for nonexistence of positive integer solution to the Diophantine equation was obtained by using elementary number theory.

Diophantine Equation; Positive Integer Solution; Prime Number

(编辑：王一芳)

O156.1

A

1674-3563(2011)02-0027-03

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.02.005 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2010-05-08

韩云娜(1984- )，女，陕西西安人，硕士研究生，研究方向：数论