积分第一中值定理中间点集稳定性的注记
2011-01-10罗群
罗群
(肇庆学院 数学与信息科学学院,广东 肇庆 526061)
0 引言
在《数学分析》教材中,有如下定理:
积分第一中值定理[1]若f在[a,b]上连续,则至少存在一点ξ∈[a,b],使得
该定理是数学分析中的一个重要定理.称这样的点ξ∈[a,b]为连续函数f在区间[a,b]上的中间值点(或平均值点),以下简称f的中间点.文献[2]及其参考文献中讨论了连续函数f的中间值点的渐近性.对于[a,b]上的连续函数f,这样的中间点不一定是唯一的.本文讨论中间点集的稳定性,即当连续函数f发生微小变化时,f的中间点集是否也发生微小变化?有例子表明这个结论是否定的.为此,笔者引入本质中间点等概念讨论中间点集的稳定性问题,得到如下结论:[a,b]上大多数连续函数(在Baire分类意义下)的中间点集是稳定的;[a,b]上连续函数的中间点集是本质连通区的一个充分条件.
1 预备知识
设X和Z是2个Hausdorff拓扑空间,F∶Z→2X是集值映射.
定义1 1)称F在y∈Z处是上半连续的,如果对X中任意开集O且F(y)⊂O,存在y的开邻域N(y),使得对任意y′∈N(y),有F(y′)⊂O;称F在Z上为上半连续的,如果F在任意y∈Z处为上半连续的.
2)称F在y∈Z处是下半连续的,如果对X中任意开集O且O∩F(y)≠Ø,存在y的开邻域N(y),使得对任意y′∈N(y),有F(y′)∩O≠Ø;称F在Z上为下半连续的,如果F在任意y∈Z处为下半连续的.
3)称F在Z上是连续的,如果F在Z上既是上半连续又是下半连续的.
4)称F在Z上是usco映射,如果对任意y∈Z,F(y)是紧值的且F在Z处是上半连续的.
记C[a,b]是定义在闭区间[a,b]上的实值连续函数,对任意f,g∈C[a,b],定义度量ρ和范数‖·‖如下:
则C[a,b]是Banach空间[3].
对集合A,B⊂[a,b],记H(A,B)为[a,b]上的Hausdorff度量.
下面的引理1是Fort定理,参见文献[4-5].
引理1 如果X是度量空间,Z是Baire空间,F是Z上的usco映射,则存在Z中的稠密剩余集Q,使得对任意y∈Q,F在y处是下半连续的.
2 主要结论
引理2 映射G是一个usco映射,即G是具有紧值且上半连续的集值映射.
证 由于[a,b]是紧的,要证G是紧值的,只需证:对任意f∈C[a,b],G(f)是闭的.设ξ0是G(f)的聚点,则存在G(f)中的点列,使得
由于
例1 设[a,b]=[0,1],f(t)≡1,t∈[0,1],则G(f)=[0,1].对任意ε>0,取则,但G(fε)={1/2 },显然,即G在f不连续,从而G(f)不稳定.
即(f*,ξ*)∈Graph G,从而映射G是usco映射.
定义2 1)对f∈C[a,b],称ξ∈G(f)是f的本质中间点,如果对ξ的任意开邻域O(ξ)∈[a,b],存在δ>0,使得对任意满足ρ(f,g)<δ的g∈C[a,b]都有O(ξ)∩G(g)≠Ø;
2)称f∈C[a,b]是本质的,如果每个ξ∈G(f)都是f的本质中间点;
3)设f∈C[a,b],Cα(f)⊂G(f)是连通子集,称Cα(f)是G(f)的本质连通区,如果对任意在[a,b]内且包含Cα(f)的开集O,都存在δ>0,使得对任意满足ρ(f,g)<δ的g∈C[a,b],都有O∩G(g)≠Ø;
4)称f∈C[a,b]的中间点集G(f)是稳定的,如果G在f处是连续的.
由定义1及定义2易得下面的定理1.
定理1 映射G在f∈C[a,b]处下半连续的充要条件为f是本质的.(证明省略)
由引理1、引理2和定理1可得到定理2.
定理2 存在C[a,b]中一个稠密剩余集Q,使得对任意f∈Q⊂C[a,b],G在f处是下半连续的.从而f∈Q是本质的,G在f处是连续的,即G(f)是稳定的.(证明省略)
由定理2可知,仍有f∈C[a,b],而G在f处不是连续的,即G(f)是不稳定的.
例1说明,当C[a,b]中的连续函数f有微小变化时,f的中间点集G(f)发生较大变化,即中间点集不稳定.尽管不能得到G(f)是稳定的,但可以得到G(f)存在本质连通区的一个充分条件.
定理3 对f∈C[a,b],若G(f)=[α,β]⊂[a,b],则G(f)是本质连通区.
证 (反证法)假设G(f)不是本质连通区,则存在开集O*⊃G(f),使得对任意n=1,2,3,…,存在gn∈C[a,b],ρ(f,gn)<1/n,满足G(gn)∩O*=Ø.
对任意n=1,2,3,…,取xn∈G(gn),则xn∉O*.由于{xn}⊂[a,b],所以{xn}有聚点x*⊂[a,b].不妨设而所以f(x*)(b-a)=于是x*∈G(f)=[α,β]⊂O*,而O*为开与xn∉O*矛盾.故G(f)是本质连通区.
推论1 对f∈C[a,b],若G(f)是单点集{x0},则x0是f的本质中间点,此时G在f处是连续的.
注1 对f∈C[a,b],若G(f)不是单点集,则f可能没有本质中间点.
例2 设[a,b]=[0,1],f(t)≡0,t∈[0,1],则G(f)=[0,1]不是单点集.下面证明f没有本质中间点.
事实上,对任意x0∈[0,1].若x0∈(0,1),取充分小的δ>0,使得(x0-4δ,x0+4δ)⊂(0,1).对任意ε>0,取
同理可证x0=0与x0=1也不是f的本质中间点,故f没有本质中间点.
[1] 华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].3版.北京:高等教育出版社,2005:217.
[2] 张新元,王骁力.一类函数第一积分中值定理中值点的渐近性[J].数学的实践与认识,2011,41(4):228-233.
[3] 泛函分析引论及应用[M].张石生,等译.重庆:重庆出版社,1986:57.
[4] FORT M K J.Points of continuity of semicontinuous functions[J].Publ Math Debrecen,1952(2):100-102.
[5] 罗群,俞建.拟变分不等式解集的极小本质集及其应用[J].高校应用数学学报:A辑,2004,19(1):81-88.