积分第一中值定理中间点集稳定性的注记

罗群

（肇庆学院 数学与信息科学学院,广东 肇庆 526061）

0 引言

在《数学分析》教材中，有如下定理：

积分第一中值定理[1]若f在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得

该定理是数学分析中的一个重要定理.称这样的点ξ∈[a,b]为连续函数f在区间[a,b]上的中间值点（或平均值点），以下简称f的中间点.文献[2]及其参考文献中讨论了连续函数f的中间值点的渐近性.对于[a,b]上的连续函数f，这样的中间点不一定是唯一的.本文讨论中间点集的稳定性，即当连续函数f发生微小变化时，f的中间点集是否也发生微小变化？有例子表明这个结论是否定的.为此，笔者引入本质中间点等概念讨论中间点集的稳定性问题，得到如下结论：[a,b]上大多数连续函数（在Baire分类意义下）的中间点集是稳定的；[a,b]上连续函数的中间点集是本质连通区的一个充分条件.

1 预备知识

设X和Z是2个Hausdorff拓扑空间，F∶Z→2X是集值映射.

定义1 1）称F在y∈Z处是上半连续的，如果对X中任意开集O且F(y)⊂O，存在y的开邻域N(y)，使得对任意y′∈N(y)，有F(y′)⊂O；称F在Z上为上半连续的，如果F在任意y∈Z处为上半连续的.

2）称F在y∈Z处是下半连续的，如果对X中任意开集O且O∩F(y)≠Ø，存在y的开邻域N(y)，使得对任意y′∈N(y)，有F(y′)∩O≠Ø；称F在Z上为下半连续的，如果F在任意y∈Z处为下半连续的.

3）称F在Z上是连续的，如果F在Z上既是上半连续又是下半连续的.

4）称F在Z上是usco映射，如果对任意y∈Z，F(y)是紧值的且F在Z处是上半连续的.

记C[a,b]是定义在闭区间[a,b]上的实值连续函数，对任意f，g∈C[a,b]，定义度量ρ和范数‖·‖如下：

则C[a,b]是Banach空间[3].

对集合A，B⊂[a,b]，记H(A,B)为[a,b]上的Hausdorff度量.

下面的引理1是Fort定理，参见文献[4－5].

引理1 如果X是度量空间，Z是Baire空间，F是Z上的usco映射，则存在Z中的稠密剩余集Q，使得对任意y∈Q，F在y处是下半连续的.

2 主要结论

引理2 映射G是一个usco映射，即G是具有紧值且上半连续的集值映射.

证 由于[a,b]是紧的，要证G是紧值的，只需证：对任意f∈C[a,b]，G(f)是闭的.设ξ0是G(f)的聚点，则存在G(f)中的点列，使得

由于

例1 设[a,b]＝[0,1]，f（t）≡1,t∈[0,1]，则G（f）＝[0,1].对任意ε＞0，取则，但G（fε）＝{1/2 }，显然，即G在f不连续，从而G（f）不稳定.

即(f*，ξ*)∈Graph G，从而映射G是usco映射.

定义2 1）对f∈C[a,b]，称ξ∈G（f）是f的本质中间点，如果对ξ的任意开邻域O(ξ)∈[a,b]，存在δ＞0，使得对任意满足ρ(f，g)＜δ的g∈C[a,b]都有O(ξ)∩G(g)≠Ø；

2）称f∈C[a,b]是本质的，如果每个ξ∈G（f）都是f的本质中间点；

3）设f∈C[a,b]，Cα（f）⊂G（f）是连通子集，称Cα（f）是G（f）的本质连通区，如果对任意在[a,b]内且包含Cα（f）的开集O，都存在δ＞0，使得对任意满足ρ(f，g)＜δ的g∈C[a,b]，都有O∩G(g)≠Ø；

4）称f∈C[a,b]的中间点集G（f）是稳定的，如果G在f处是连续的.

由定义1及定义2易得下面的定理1.

定理1 映射G在f∈C[a,b]处下半连续的充要条件为f是本质的.（证明省略）

由引理1、引理2和定理1可得到定理2.

定理2 存在C[a,b]中一个稠密剩余集Q，使得对任意f∈Q⊂C[a,b]，G在f处是下半连续的.从而f∈Q是本质的，G在f处是连续的，即G（f）是稳定的.（证明省略）

由定理2可知，仍有f∈C[a,b]，而G在f处不是连续的，即G（f）是不稳定的.

例1说明，当C[a,b]中的连续函数f有微小变化时，f的中间点集G(f)发生较大变化，即中间点集不稳定.尽管不能得到G(f)是稳定的，但可以得到G(f)存在本质连通区的一个充分条件.

定理3 对f∈C[a,b]，若G(f)＝[α,β]⊂[a,b]，则G(f)是本质连通区.

证 （反证法）假设G(f)不是本质连通区，则存在开集O*⊃G(f)，使得对任意n＝1,2,3,…，存在gn∈C[a,b]，ρ(f，gn)＜1/n,满足G(gn)∩O*＝Ø.

对任意n＝1,2,3,…，取xn∈G(gn)，则xn∉O*.由于｛xn｝⊂[a,b]，所以｛xn｝有聚点x*⊂[a,b].不妨设而所以f(x*)(b－a)＝于是x*∈G(f)＝[α,β]⊂O*，而O*为开与xn∉O*矛盾.故G(f)是本质连通区.

推论1 对f∈C[a,b]，若G(f)是单点集｛x0｝，则x0是f的本质中间点，此时G在f处是连续的.

注1 对f∈C[a,b]，若G(f)不是单点集，则f可能没有本质中间点.

例2 设[a,b]＝[0,1]，f(t)≡0,t∈[0,1]，则G(f)＝[0,1]不是单点集.下面证明f没有本质中间点.

事实上，对任意x0∈[0,1].若x0∈(0,1)，取充分小的δ＞0，使得(x0－4δ,x0＋4δ)⊂(0,1).对任意ε＞0，取

同理可证x0＝0与x0＝1也不是f的本质中间点，故f没有本质中间点.

[1] 华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].3版.北京:高等教育出版社，2005:217.

[2] 张新元,王骁力.一类函数第一积分中值定理中值点的渐近性[J].数学的实践与认识,2011,41(4):228-233.

[3] 泛函分析引论及应用[M].张石生，等译.重庆:重庆出版社,1986:57.

[4] FORT M K J.Points of continuity of semicontinuous functions[J].Publ Math Debrecen,1952(2):100-102.

[5] 罗群，俞建.拟变分不等式解集的极小本质集及其应用[J].高校应用数学学报:A辑,2004,19(1):81-88.