寻找隐含条件 开拓解题思路

　　学生运用数学知识解决的实际问题一般有情节、数据和数量关系三个部分，缺一不可。情节是叙述实际问题的事实部分，数据是列式的材料，而数量关系则是列式的依据。有些实际问题，列式需要的个别数据往往隐含于情节之中，成为隐含的条件，学生感到无从下手，这就需要认真审题，深入分析思考，有时还需借助直观，采用画线段图、模拟实验等方法，才能发现隐含的条件，找到解决问题的途径。
　　一、 利用常识性知识寻找隐含条件
　　如学习“年、月、日”这类常识性知识后，在解决实际问题时，时间这一条件常常隐含于事实的情节之中，出现隐含的条件。
　　（1）电视机厂计划全年生产电视机2.5万台，实际提前2个月就完成了计划的1.4倍。实际每月生产电视机多少万台？
　　（2）王师傅一月上旬生产了1160个零件，中旬生产了1196个零件，下旬每天生产124个零件。王师傅一月份平均每天生产多少个零件？
　　第（1）道题，根据题中的两个条件“计划全年生产电视机2.5万台”、“实际提前2个月就完成了计划的1.4倍”，可以先求出全年实际生产电视机的台数为2.5×1.4=3.5（万台）。题目要求的是“实际每月生产电视机多少万台”，这里隐含了全年一共12个月这一条件。题目中说提前2个月完成，实际用了10个月完成了3.5万台，求实际每月生产电视机的台数，列综合算式是2.5×1.4÷（12－2）=0.35（万台）。
　　第（2）道题，要求“王师傅一月份平均每天生产多少个零件”，必须知道王师傅一月份一共生产了多少个零件和一月份的天数。一月份的天数是一个隐含的条件，一月份是大月，共31天。题目中还已知“上旬生产了1160个零件，中旬生产了1196个零件，下旬每天生产124个零件”，下旬共生产的零件必须用每天生产零件的个数乘下旬的天数。因为一月份为大月，所以下旬为11天，下旬共生产了124×11=1364（个）零件。然后用一月份生产零件的个数除以一月份的天数，得平均每天生产零件的个数。列综合算式为（1160＋1196+124×11）÷31= 120（个）。
　　也有的隐含条件是学生日常生活中非常熟悉的常识性知识。
　　（3）友谊饭店的停车场停放着24辆摩托车和小轿车，它们共有60个轮子。摩托车和小轿车各有多少辆？
　　根据生活常识知道，每辆摩托车有2个轮子，每辆小轿车有4个轮子，这是隐含的条件，找到这一隐含的条件，用假设法可以找到解题的途径。把24辆车全部看成摩托车，那么应该有2×24＝48（个）轮子，比已知条件少了60－48＝12（个）轮子，一辆摩托车换成一辆小轿车需添上2个轮子，一共可以换成12÷2＝6（辆）小轿车，即小轿车有（60－2×24）÷（4－2）= 6（辆），摩托车有24－6=18（辆）。
　　当然，也可以把24辆车全都成小轿车，按同样的道理列出不同的算式。如下：
　　 （4×24－60）÷（4－2）=18（辆）……摩托车
　　 24－18=6（辆）……小轿车
　　二、利用公式、性质等寻找隐含条件
　　隐含条件有时隐藏在一些公式、性质之中，需要学生对相关的公式、性质牢固的掌握，并能灵活地运用。
　　（4）阴影部分正方形的面积是3平方分米（如右图），求圆的面积。
　　一般来讲，要求圆的面积，需要知道圆的半径，而圆的半径是图中正方形的边长，这是一个隐含的条件。题目中已知正方形的面积是3平方分米，也就是边长乘边长的结果是3平方分米，而边长乘边长也就是半径乘半径，即r2是3平方分米。这样就容易求出圆的面积，即3.14×3=9.42（平方分米）。
　　（5）下图中两个正方形的面积相差800平方厘米，那么两个圆的面积相差多少平方厘米？
　　要求两个圆的面积相差多少，一般情况，要知道两个圆的半径各是多少厘米，但题目中都是未知的。如果大圆的半径用R表示，小圆的半径用r表示，大圆的面积为πR2，小圆的面积为πr2，两个圆相差面积为πR2－πr2=π（R2－r2）。题目的已知条件是两个正方形的面积相差800平方厘米，大正方形面积是4R2，小正方形面积是4r2，也就是4R2－4r2=4（R2－r2）=800，即R2－r2=200（平方厘米），所以两圆面积相差π（R2－r2）=3.14×200=628（平方厘米）。
　　三、 运用模拟实验的方法发现隐含条件
　　模拟实际问题的叙述情节，用实验的方法有利于发现隐含的条件，找到解题途径。
　　（6）把一段4米长的长方体木料，平均锯成5段，表面积增加了320平方分米。求每段木料的体积。
　　如果用胡萝卜、甘薯之类的实物切削成长方体的形状来代替木料，根据题意切成5段，可发现隐含的条件，切5段只要切4次，而每切一次就增加了2个横截面，所以切4次就增加了2×4＝8（个）横截面。根据题目已知条件“表面积增加了320平方分米”，这样可以求出木料的横截面面积为320÷8=40（平方分米）。题目所求的问题是“求每段木料的体积”，用每段的长乘横截面面积，4米=40分米，每段的长为40÷5=8（分米），列综合算式为40÷5×（320÷8）=320（立方分米）。
　　（7）一个长方体，如果高减少2分米就成为一个正方体，这时表面积比原来减少48平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？
　　这道题同样可以用上述材料做模拟实验，用胡萝卜切削成长方体，如右图。“如果高减少 2分米就成为一个正方体”，说明这个长方体的底面是一个正方形，四个侧面都相同。高减2厘米，表面积减少了4个2分米高的侧面，根据条件“表面积比原来减少48平方分米”，所以一个侧面减少了48÷4=12（平方分米）。用12÷2=6（分米）可以求得原来长方体的长和宽，原来长方体的高为6＋2=8（分米）。这样再求原来长方体的体积就不难了，即6×6×（6＋2）=288（立方分米）
　　（8）一堆钢管最底层放20根，每往上一层就少放一根，如果顶层是12根，这堆钢管共有多少根？
　　堆放的钢管横截面呈梯形，可利用梯形面积计算公式来计算：钢管根数=（顶层根数＋底层根数）×层数÷2。但这道题中层数是一个隐含的条件，如果运用模拟实验的方法，用铅笔或其他圆柱形小棒代替钢管来堆放，譬如底层放5根，每往上一层就少放一根，放到顶层是2根，可以找到这样的规律：层数=底层根数－顶层根数＋1。这道题中，钢管层数为20－12＋1=9（层）。这样求钢管的总根数就容易了，即（12＋20）×9÷2=144（根）。
　　四、运用画线段图的方法发现隐含条件
　　根据实际问题的叙述情节画线段示意图，不仅可以清楚地反映出数量关系，而且容易发现隐含的条件，开拓解题思路。
　　（9）小刚和妹妹二人同时由家去少年宫，小刚每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。小刚到少年宫门口时发现忘记带乒乓球拍，立即由原路回家去取，行至离少年宫180米处和妹妹相遇。他们家离少年宫多远？
　　如果运用画线段图的方法可以发现隐含的条件：当小刚到达少年宫门口立即又按原路返回，行至离少年宫180米处和妹妹相遇，小刚和妹妹两人一共走了两个全程。小刚共比妹妹多行了两个180米，是360米，小刚比妹妹多走360米所用的时间，也就是小刚和妹妹所走的时间是360÷30=12（分）。所以，从家到少年宫的距离是（90+60）×12÷2=900（米）。
　　（10）甲、乙两人分别自湖的东、西两岸出发，匀速地向对岸游去，游到对岸后立即返回。已知两人第一次相遇距湖的西岸800米，第二次相遇距湖的东岸600米，此湖东、西两岸间的距离是多少米？
　　借助线段图，就容易发现隐含的条件：两人到第二次相遇，共行了3个全程。由于是匀速前进，根据已知条件“两人第一次相遇，距湖的西岸800米”，可以推知：1个全程中乙行了800米，3个全程中共行了800×3＝2400（米）。第二次相遇时，乙行了1个全程加600米，所以，1个全程（湖东、西两岸间的距离）是2400-600＝1800（米），列综合算式是800×3-600=2400-600=1800（米）。
　　（责编蓝天）