一道竞赛题的多角度思考

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(盱眙中学 江苏盱眙 211700)

同一个数学问题，不同的认识角度将会带来不同的解题思路，这就需要我们在日常的解题过程中，善于变换角度，从不同的层面分析问题，把握问题的实质.笔者通过以下一道试题的多角度思考，从中展示数学思想方法的精妙，从平凡中显现不平凡的数学魅力，让大家体会数学美之所在．

题目求满足下式的锐角x:

思路1转化思想——构造余弦定理.

解法1原式可化为

图1

∠BCD=90°-x．

如图1，得

|AE|+|BE|=4≥|AB|.

即

1=sin(x+30°),

解得

x=60°.

思路2转化思想——联系柯西不等式.

解法2由题意可得

16,

评注柯西不等式在不等式中的运用非常广泛，应用它往往可以简化运算量．

思路3方程思想——构造方程.

解法3可以利用条件进行分子有理化，建立另一方程的形式，通过方程组消元求解．

因此

从而

于是

解得

x=60°.

评注该解法由学生熟悉的分子有理化入手，再过渡到方程思想，思路如行云流水般自然.

思路4化繁为简——朴素的化简运算．

解法4原式可化为

两边平方得

即

两边平方得

即

sin(x+30°)=1，

解得

x=60°．

思路5消元思想.

由cos2x+sin2x=1得

a4-12a3+54a2-108a+81=0,

即

(a-3)4=0，

解得

a=3，

从而

解得

x=60°.

思路6数形结合思想——几何法.

从几何的角度考代数问题，可以使问题存现的方式更生动．对于本题，可以从不同的角度来考虑：一是利用两点间公式转化成直线，再利用点在直线上求解．二是用两点间距离转化后，结合余弦定理，建立等式，实现问题的求解．

解法6原式可化为

|PA|+|PB|=4.

由|AB|=4，得点P在AB上，从而AB的方程为

则

解得

x=60°．

解法7原式可化为

图2

(1)

由余弦定理知

因此

即

令|AP|=t，则

即

解得

从而

解得

x=60°．

评注数形结合思想能将代数问题生动、形象地呈现出来，因此平时要有意识地运用数形结合思想解题．