一道中考题的解答小议

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(东洲中学 浙江富阳 311401)

题目请你在如图1所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的________个格点．

(2010年浙江省湖州市数学中考试题)

图1

图2

本题解答有误，所给答案为12，正确答案应为16.究其错误原因可能是只从圆心为格点的情形加以考虑，没有从反面说明这个值确实是最大的了.

解如图2,圆恰好经过16个格点.

以下说明16是最大值.建立以左下角为坐标原点，以方格的边长为单位长度，水平向右为x轴，竖直向上为y轴的坐标.

即

(2x-a)2+(2y-b)2=4R2,

(1)

其中0≤x≤12,0≤y≤12.方程(1)的整数解个数就是这个圆经过12×12网格的格点个数.当方程(2x-a)2+(2y-b)2=4R2的左边取整数解时，左边的值为正整数，因此4R2也为正整数.

图3

图4

x′2+y′2=4R2

(2)

恰有16个整数解.

综上所述，在如图1所示的12×12网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的16个格点．