含高斯符号问题的解法探究

● (新星学校 浙江苍南 325800)

含高斯符号问题的解法探究

●易永彪(新星学校 浙江苍南 325800)

在解决实际问题以及计算机的运算中，常常需要对一些数据进行取整运算，即把一些不是整数的实数去掉它的正纯小数部分，用不超过它的最大整数取而代之：设x是实数，不大于x的最大整数叫做x的整数部分，记作[x].

1 确定范围

要求某个数式的整数部分，可以先确定这个数式的取值范围，而且这样的范围越精确越好.

例1[x],[y],[z]分别表示不超过x,y,z的最大整数，若[x]=5，[y]=-3，[z]=-2，则[x-y+z]可以取值的个数是

( )

A．1 B．2 C．3 D．4

分析由x,y,z的范围，可确定x-y+z的取值范围.

由[x]=5，[y]=-3，[z]=-3，可得

5≤x<6,-3≤y<-2,-2≤z<-1，

因此

2<-y≤3，

于是

5

故[x-y+z]的值可以为5或6或7，选C.

分析可以先设法确定S的取值范围.

而

又

2 不等分析

就是把取整问题转化为解某不等式的问题,可利用0≤{x}<1，[x]≤x<[x]+1.

例3用[x]表示不大于x的最大整数，则方程6x-3[x]+7=0的解是________或________.

(2010年第21届希望杯初二数学竞赛第一试试题)

分析由6x-3[x]+7=0，可得

因为[x]≤x<[x]+1,所以

于是可化为不等式组

解得

因此

解得

分析利用性质x-1<[x]≤x,得

2x-1<[2x]≤2x，3x-1<[3x]≤3x，

因此

5x-2<[2x]+[3x]≤5x，

于是可化为不等式

解得

因而

3 整体考虑

这就是充分利用x=[x]+{x}的关系解题.

例5已知x,y,z满足

求x,y,z的值.

分析因为x=[x]+{x}，由式(1)+式(2)+式(3)得

2(x+y+z)=0.6，

所以

x+y+z=0.3.

(4)

式(4)-式(1),得

{y}+[z]=1.2，

于是

[z]=1，{y}=0.2.

式(4)-式(2),得

{x}+[y]=0.1，

于是

[y]=0，{x}=0.1.

式(4)-式(3),得

{z}+[x]=-1，

于是

[x]=-1，{z}=0.

从而

x=[x]+{x}=-0.9，

y=[y]+{y}=0.2，

z=[z]+{z}=1.

评注本题各式中同时出现了[x],{x},[y],{y},[z],{z}，作整体考虑后发现，可以结合性质x=[x]+{x}，采用迭加的方法，得到x+y+z=0.3.由此再各个突破得解.

解含高斯符号的数学竞赛题，关键是要把握好它的意义与核心性质：x=[x]+{x}.