无支架缆索吊装系统单跨双吊点主缆计算

刘 睿，雷雨亮，周水兴

(1.重庆交通大学 土木建筑学院，重庆400074;2.北京海龙公路工程公司，北京102206)

无支架缆索吊装系统是大跨度拱桥主拱拱圈(肋)及拱上构件安装常用的施工设备［1－3］。此外，也可用于悬索桥加劲梁的安装施工［4］。

主缆是缆索吊装系统最主要的承重轨道。通常一个构件由两个吊点同时起吊，但一直以来有关双吊点主缆弧长、垂度和水平张力等，均按两吊点的合力作用于吊点中心，采用单吊点公式开展［5］。目前国内对无支架缆索吊装系统吊装节段的扣索力、预抬量研究较多，但对缆索系统本身的研究很少［6－8］。杨胜［9］利用MATLAB数学运算工具编写了主缆计算程序，但主缆垂度和水平张力等仍按单吊点法计算。文献［10］推导了双吊点主缆的相关公式，但弧长和垂度公式有误;在比较单吊点法和双吊点法计算误差时，仅分析了主缆跨径的变化，而忽略了其他参数变化对计算误差的影响。

随着桥梁跨度的不断增大，对计算精度和施工控制要求也在相应提高。笔者根据主缆静力平衡原理，建立了单跨双吊点主缆以各吊点位置为分界点的主缆分段曲线方程，推导了相应的主缆水平张力和垂度计算公式，分析了主缆跨径、缆索自重、双吊点间距和吊重等因素对主缆水平张力的影响。结果表明:按单吊点法或双吊点法计算单跨双吊点主缆水平张力，其差异主要受双吊点间距与主缆跨径之比的影响，且主缆水平张力的差异随双吊点间距与主缆跨径之比的减小而减小，当两者之比在0.05以内时，用两种方法计算得到的水平张力的相对误差也在5%以内，可忽略不计。

1 单跨双吊点主缆相关公式推导

两端固定于地垄或其他锚固装置，中间支承于两塔架的主缆为3跨连续索。当两边跨跨度较小时，为简化计算，常忽略其影响，同时不计两塔架位移，视主缆与塔架平滚(或索鞍)的接触点不会滑动，这样主缆就可以按两端固定的单跨主缆计算［5］。图1为单跨双吊点主缆计算简图。

图1 单跨双吊点主缆计算简图Fig.1 Calculation diagram of main cable with double-lifts in single span

图1中:HA为左端塔顶A处主缆的水平张力;VA为左端塔顶A处支点反力;HB为右端于塔顶B处主缆的水平张力;VB为右端塔顶B处的支点反力;β为主缆弦倾角，β=arctan(h/l);g0为主缆自重荷载集度;g为主缆按跨径均匀分布的自重荷载集度;t为主缆左吊点距左索塔A的水平距离;a为左右两吊点间距;l为主缆跨度;P为作用于主缆上的集中荷载(P/2表示荷载由两吊点均匀分担);h为两索塔高差。

1.1 基本假定

1)主缆在跨间只承受张力而不承受弯矩［5］;2)在主缆跨中各处主缆的水平张力大小相等，HA=HB=Hx=H［5］;

3)构件吊重由两个吊点平均分担。

1.2 主缆弧长S的计算

1.2.1 左、右索塔处支反力

左索塔(A点)支反力:

式中:HA为距A点水平距离为t处(左吊点)的主缆水平张力;其余参数含义同上。

右索塔(B点)支反力:

1.2.2 主缆曲线方程

作用有双吊点的主缆(图1)，其线形由左塔顶(A点)至左吊点(C点)、左吊点至右吊点(D点)、右吊点至右塔顶(B点)3个分段曲线组成。主缆弧长可通过其曲线方程求得。

以左边塔顶A点作为整个坐标系的坐标原点，沿HA方向作为x轴，沿VA方向作为y轴，并设点C距点A的水平距离为t。将主缆曲线从A点至C点分为第1段，从C点至D点分为第2段，其坐标表示为从D点到点B分为第3段，其坐标表示分别为:x∈ (0，t) 、x∈(t，t+a) 、x∈(t+a，l) 。

对于A－C段主缆曲线，可建立图2所示的计算简图。

图2 主缆A－C段计算示意Fig.2 Calculation diagram of segmentA－Cof main cable

图2中:Hx为A－C段上距A点水平距离为x处主缆水平张力;Vx为A－C段上距A点水平距离为x处主缆竖向分力;其于参数含义同图1。

对A点取矩，由∑MA=0

由:∑V=0，得:Vx=VA－gx

可得出A－C段主缆的曲线方程:

式中:据基本假定2)，因HA=HB=Hx=H，为此以后各式中Hx均表示为H。

同理，参照图3、图4，可得C－D段和D－B段弧的曲线方程。

图3 主缆C－D段计算示意Fig.3 Calculation diagram of segmentC－Dof main cable

图4 主缆D－B段x∈(t+a，l)计算示意Fig.4 Calculation diagram of segmentD－B x∈ (t+a，l)of main cable

将3个曲线方程联立，即为主缆曲线的分段方程，如式(4):

1.2.3 主缆弧长S的计算

将上式展开成级数，取前两项得:

将式(5)因式分解、合并同类项得单跨双吊点主缆的弧长计算式:

文献［10］由于弧长公式推导有误，因此，退化计算后得不到与式(7)相同结果，导致后续水平张力方程和垂度的计算式也相应有误。

1.3 主缆水平张力普遍方程

第1状态:设载有吊重的跑车Pmax(Pmax为最大吊重和跑车及起重设备的总重)位于主索跨度的中间以此作为变化前的标准平衡状态。第2状态:设荷载Px≤Pmax，荷载左吊点位于距A支点距离为t处，与此状态相对应的主索曲线长度为St，支座A处主缆张力为Tt，水平张力为Ht。

在上述2个平衡状态中，主索曲线长度的改变，是由于主索在不同荷载位置作用下张力变化而引起的弹性变形ΔS所产生，其值可用式(8)计算:［1］

将式(6)代入式(8)，可得双吊点缆索水平张力普遍方程:

式中:Hmax为最大吊重位于跨中时主缆的水平张力;G为主缆总重，G=gl;E为主缆弹性模量;F为主缆截面积;P为作用于主缆上的任意集中荷载;P≤Pmax;其余参数含义同上。

1.4 安装时主缆张力方程及主缆垂度计算

1.4.1 主缆安装时的张力方程

式中:H0为主缆的安装水平张力;P0为跑车等空载时的重量;其余参数含义同上。1.4.2 左、右吊点垂度普遍公式

左吊点垂度计算简图如图5。

图5 左吊点垂度计算简图Fig.5 Calculation diagram of sag in leftlift

图5中:Ht为左吊点处主缆的水平张力;Vt为左吊点处主缆的竖向分力。

对x=t位置取矩，由∑Mt=0，即:

可得左吊点垂度计算式:

同理，据右吊点垂度计算简图(图6)，可得右吊点的垂度计算式。

图6 右吊点垂度计算简图Fig.6 Calculation diagram of sag in rightlift

图6中:Ht'为右吊点处主缆的水平张力;Vt'为右吊点处主缆的竖向分力。

右吊点垂度计算式:

式中:t'为右吊点距支点A的水平距离，t'=t+a;其余参数含义同上。

1.4.3 安装垂度计算式

当安装吊重P位于跨中，将0代入左吊点垂度计算公式，或将代入右吊点垂度计算公式均可求得双吊点的安装垂度计算公式:

1.4.4 吊重最大时主缆垂度计算式

主缆最大垂度计算公式:

2 单、双吊点公式计算误差控制

因主缆的相关计算都是基于主缆最大水平张力开展后续计算，故只对双吊点缆索按单吊点法和双吊点法计算的最大水平张力进行比较。

2.1 单、双吊点法最大水平张力计算公式差异

主缆按单吊点法计算最大垂度的公式如式(15):

式中:fmax为主缆的最大垂度;其余参数含义同上。

对比式(14)可知，式(15)是当a=0时的特例。

记:双吊点主缆利用单吊点法与双吊点法计算水平张力的相对误差为δ，计算如式(16):

令:δ≤0.05(工程容许误差)，则式(17)可改写成以k为自变量的不等式方程:

求解该不等式，得到k＞0的k值范围为:

当k≤0.05的时候，δ＜0.05，即:双吊点主缆计算可选用单吊点法公式满足工程误差要求。

对式(19)的右边进行计算:

综上分析，双吊点缆索在满足以下2个推论之一时，采用单吊点法公式计算均满足工程误差要求。

推论1:当k＜0.05时，δ＜0.05。

推论2:当0.05≤k≤ μ时，δ≤0.05，(μ=

2.2 算例及分析

主缆跨径l=217.04m，两吊点间距a=13m，两岸高差h=4m，E=75 600 MPa，拱肋最大净重P1=400 kN，吊具、配重及施工荷载P0=50 kN，Pmax=P1+P0=450 kN，主缆单位自重集度g0=0.44 kN/m，主缆弦倾角 β =0.012(弧度)。

因此:

因k＞0.05且k＞μ，不满足2个推论的要求。

不宜采用单吊点公式计算。下面用单、双吊点法分

表1 算例单吊点法与双吊点法最大水平张力计算误差Tab.1 Calculation tolerance of maximal horizontal tension with the method of singelift and doublelifts in a certain project

主缆自重和吊点间距不变的情况下，在不同主缆跨度和不同吊重下最大水平张力的相对误差。计算结果如表2～表4。

表2 当Pmax=450 kN时k、θ变化对δ的影响Tab.2 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 450 kN

表3 当Pmaxis 1 000 kN时k、θ变化对δ的影响Tab.3 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 1 000 kN

表4 当Pmaxis 1 500 kN时k、θ变化对δ的影响Tab.4 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 1 500 kN

通过表2～表4数据证明:本文的2个推论是正确的。

3 结语

根据无支架缆索吊装系统单跨双吊点主缆受力及曲线形态，给出了主缆分段曲线弧长表达式，推导了主缆垂度、水平张力等计算公式。分析了主缆自重、跨径、吊点间距、最大吊重等因素对主缆水平张拉的影响，为今后主缆计算提供理论依据，且可提高计算精度。

由于主缆在自然环境中受到温度变化的影响会发生伸缩，但本文公式中未计入温差影响，对此，读者可参考文献［5］，在此不再赘述。

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