2010年高考理科试题对高中统计与概率教学的启示

胡成龙

（遵义市第二中学，贵州遵义563000）

2010年高考理科试题对高中统计与概率教学的启示

胡成龙

（遵义市第二中学，贵州遵义563000）

通过对2010年全国及各省（市、区）高考理科统计与概率试题的统计分析，得出今后高中统计与概率教学应当以分层抽样、频率分布直方图、古典概型、互斥事件、独立事件、Bernoulli概型、离散型随机变量的分布列及其数字特征和正态分布等为教学重点，使学生体会用样本估计总体，注意联系生产和生活实践，重视独立性检验的结论。

高考；数学；统计与概率；教学启示

今年秋季，贵州及全国绝大多数省（市、区）将使用《普通高中数学课程标准（实验）》（简称《新课标》,以下同）教材，使得高中数学新课程的教学成为广大高中数学教师共同关注的问题，研究《新课标》教材成为高中数学教学研究的热点。近年来，尽管有许多关于《新课标》统计与概率的教学研究文章，但都或是从《新课标》的内容设计[2，3]，或从新课程理念，或以教学内容的认识[5，6]来论述教学方法或策略。从全国所有地区高考试题统计分析来研究统计与概率的教学还未见文献。本文通过2010年全国所有高考理科统计与概率试题的简要分析，结合《新课标》要求，对统计与概率的教学提出个人见解，希望与同行交流。

1 2010全国高考理科统计与概率试题统计分析

2.1 2010命题情况统计（见表1）

2.2 命题分析

2.2.1 主要知识点与分值

2010年高考理科数学试卷分以现行教学大纲为准的“大纲卷”和以《新课标》为准的“新课标卷”。对表1进行统计，2010年高考理科统计与概率以全国卷为代表的“大纲卷”试题都以古典概型、独立事件、互斥事件、Bernoulli概型和离散型随机变量的分布列的构造及数学期望为主要知识点。有不少地区（北京、陕西、辽宁、湖北、湖南、江西、江苏、广东）的命题考查了分层抽样、频率分布直方图，与“新课标卷”类似。分值在17分左右。

2.2.2 主要能力要求

对表1的能力考查分析统计，大多数试题的主要能力要求为：理解分层抽样的原理，掌握频率分布直方图的构造，能根据频率分布直方图计算样本容量与各部分样本数，从而计算某个事件的概率；掌握古典概型、互斥事件、独立事件、Bernoulli概型等概率的计算；掌握离散型随机变量的分布列的构造及数学期望的计算方法；能将概率知识与思想用于生产生活实践。

表1 2010高考理科统计与概率试题统计表

试 卷 题号 题型 分值 考查的主要知识点 主要能力要求选择3 5对立事件、独立事件辽宁卷18解答12古典概型、分层抽样、频率分布直方图的构造、频率分布中位数15填空5安徽卷21解答13浙江卷19解答14互斥的事件、古典概型、条件概率、全概率公式。独立事件、离散型随机变量的分布列。离散型随机变量的分布列及数学期望、二项分布。13填空4对立事件、独立事件乘积的概率福建卷16解答13 7选择5一元二次不等式的解集、样本空间、离散型随机变量的分布列及数学期望正态分布广东卷17解答12分层抽样、频率分布直方图、古典概型山东卷5 6 2选择选择解答5 5 1 0 3 4 2填空正态分布样本方差为互斥事件和的概率、样本空间、离散型随机变量的分布列及数学期望古典概型知识频率分布直方图江苏卷 填空附加必作2 5 5 1独立事件；离散型随机变量的分布列及数学期望。上海卷 填空填空新课标卷宁夏吉林海南2 6 9 6 1 9选择解答0 4 4 5 1 2离散型随机变量的分布列及数学期望。古典概型；互斥事件及其和的概率。Bernoulli概型；离散型随机变量的分布列及数学期望。分层抽样、独立性检验。掌握对立事件、独立事件乘积的概率计算。掌握分层抽样方法，理解频率分布直方图的构造，能从分层抽样频率分布直方图计算样本中包含各部分的个体数方法；运用概率知识、独立性检验解决实际问题的能力（与新课标类似）。理解完备事件组和条件概率的基本概念，掌握全概率公式。掌握离散型随机变量的分布列的构造方法；在复杂情况下进行分析计数、将概率思想在实际生活中的应用的能力。掌握离散型随机变量的分布列及数学期望的计算、能根据实际情况分析选择正确的概率计算方法。掌握独立事件乘积的概率计算方法；能根据具体情形分析选择方法，将概率思想在实际生活中的应用的能力。理解样本空间、事件所包含的样本的意义；掌握离散型随机变量的分布列的构造及数学期望的计算。理解正态分布图象的对称性，能根据图象计算概率。掌握古典概型的概率计算方法；理解分层抽样方法，频率分布直方图的构造，能从分层抽样频率分布直方图计算样本中包含各部分的个体数方法；运用概率知识解决实际问题的能力。理解正态分布图象的对称性，能根据图象计算概率。能计算样本方差理解样本空间、事件所包含的样本的意义；掌握互斥事件和的概率的计算方法和离散型随机变量的分布列的构造及数学期望的计算。会根据实际情况计算古典概型的概率。理解频率分布直方图的构造，能从分层抽样频率分布直方图计算样本中包含各部分的个体数方法。掌握独立事件乘积的概率计算方法；离散掌握型随机变量的分布列的构造及数学期望的计算；运用概率知识解决实际问题的能力。掌握离散型随机变量的分布列的构造及数学期望的计算。掌握古典概型、互斥事件及其和的概率计算方法。掌握Bernoulli概型的计算方法、离散型随机变量的分布列构造及数学期望的计算。运用概率知识、独立性检验解决实际问题的能力。

2.2.3 差异比较

从表1可以看出，虽然大多数地区所考查的主要知识点与能力要求基本一致，但也有部分省（市、区）的命题涉及其他不同的知识点，如湖北考了系统抽样、陕西和湖南考了几何概型、天津考了茎叶图、广东和山东考了正态分布、山东考了样本方差。

3 对《新课标》教材教学的几点启示

研究高考并非是研究应试。实际上高考命题是服从于教学大纲或课程标准的，命题内容很大程度上反映了教学大纲或课程标准的教学要求，引导对内容的教学认识。根据上述分析，可以对高中数学统计与概率的教学以下的启示。

3.1 教学重点内容

从上述命题分析可以看出，高中《新课标》教材统计与概率教学的重点内容有“等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、n次独立重复试验中恰好（或至少、或至多）发生k次的概率等常见的概率的计算；离散型随机变量的分布列、期望、方差、标准差的计算；正态分布、分层抽样、频率分布直方图，线性回归分析”等。

3.2 注意使学生体会用样本估计总体的思想

以数据进行推断的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，以样本推断总体是统计学最核心的思想方法。样本频率分布直方图不仅可以根据原始数据估计总体分布，而且在没有原始数据而仅有频率分布的情况下，也可以估计总体的分布特征。

教科书按照《新标准》的要求，主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法。

在2010年高考试题中，北京、陕西、辽宁等8个省（市、区）将样本频率分布直方图作为重要部分，并且前几年也有不少地区的试题涉及该内容。

因此，在教学中应当注意使学生掌握样本频率分布的列表和画直方图的方法，体会用样本估计总体的思想。

3.3 随机变量及其分布是重要基础

随机变量能够反映随机现象的共性，离散型随机变量的分布列能够全面的描述离散型随机变量的统计规律，离散型随机变量的分布列也是学生今后进一步学习研究连续型随机变量的基础。二项分布和超几何分布是两个应用非常广泛的概率模型。根据中心极限定理，当随机变量是大量独立的偶然因素作用之和，则它服从或近似地服从正态分布，所以，在日常生活（如人体身高、体重）与生产实践中，正态分布是统计学中是常用的统计模型。

教科书按照《新标准》的要求，在介绍事件的独立性、条件概率的基础上，以独立重复实验与二项分布作为研究离散型随机变量的分布列重要模型，进一步研究离散型随机变量的数字特征（均值与方差），再由二项分布的直方图的极限图形引入正态分布。

2010年高考试题中，所有试卷都考了互斥事件、独立事件、Bernoulli概型和离散型随机变量的分布列的构造及数学期望。广东和山东考了正态分布，山东还考了样本方差。

所以，随机变量及其分布是高考的重要基础，将每年都出现在高考命题中。

3.4 重视独立性检验的应用

假设检验是统计学的一个常用的重要方法，而独立性检验是假设检验的一种特例。教科书按照《新标准》的要求，通过典型案例介绍了独立性检验的基本思想、方法以及简单应用。

在2010年的高考试题中，辽宁卷和新课标卷都考查了独立性检验的应用。由于全国高考命题对教学有很强的指导作用，因此，新课标卷对新课标教材的实施具有引领作用。

所以，在今后的教学中应当重视独立性检验的应用。

3.5 教学应注意联系生产和生活实践

2010年高考统计与概率的全部试题都以联系生产、生活实践来设计。如：全国Ⅰ卷以某杂志对稿件的评审为背景；全国Ⅱ卷以电流能否通过各元件为背景；北京卷、陕西卷以学生身高为背景；四川卷以有奖购物为背景；湖南卷以城市居民用水量为背景；辽宁卷以药物实验为背景；安徽卷以酒师的酒味鉴别功能为背景；福建卷、山东卷以知识竞赛为背景；广东卷以食品检验为背景；江苏卷以产品质量与利润为背景；新课标卷以某地区老年人是否需要志愿者帮助为背景。

统计与概率的教学主要目的是使学生体会统计与概率的基本思想,处理数据、制定决策，培养学生“用数据说话”的理性思维。

所以，统计与概率教学应重视问题的背景及统计与概率在生产和生活实践以及科学领域中的应用。

4 结束语

上述对《新课标》教材教学的几点启示，仅为笔者在分析2010年高考理科试题的基础上得到的见解，以期与广大同行交流。本文未对古典概型、几何概型和线性回归分析进行讨论，尚待深入研究。事实上，要真正适应《新课标》教材统计与概率教学的需要，还应当深入分析文科试题，在此基础上，认真研究《新课标》和两本教科书[7，8]，并从教师教学用书中领会教材编写意图，结合本地学生实际研究教学策略。

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]钟志华.对高中新课程中概率教学的认识[J].数学教育学报,2006,15(1):82-85.

[3]黄中杰.由“概率统计”谈对高中新课程标准的认识[J].科技信息,2008，（3）:27.

[4]张丹.新课程理念下的统计与概率教学 [J].数学通报,2005,44(1):12-14.

[5]郑箫.新课标下高中数学概率教学的实施建议[J].数学教学,2009,（6）:113.

[6]王吉强.高中《概率与统计》教学的几点建议[J].数学教学通讯,2004,（8）:18-19.

[7]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学3（必修）[M].北京：人民教育出版社，2004.

[8]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书选修2-3[M].北京：人民教育出版社，2004.

[9]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书选修2-3A版教师教学用书（第二版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

（责任编辑：朱 彬）

Implication for the Teaching of Senior High School’s Statistics and Probability through 2010 College Entrance Matriculation in Science

HU Cheng-long
(No.2 Middle School of Zunyi,Zunyi 563000,China)

After analyzing the questions of the statistics and probability from 2010 national and provincial(civic,regional)college entrance matriculations in science,the author draws the conclusion that the teaching of statistics and probability in senior high school should focus on stratified samplings,frequency distribution histogram,classical probability,exclusive event,independent event,Bernoulli scheme,distribution column and digital features of discrete random variable and normal distribution,which can make students learn to use samples to evaluate entirety,to pay attention to the connection between production and living practice and to value the application of independent inspection.

college entrance matriculation;mathematics;statistics and probability;teaching inspiration

G633.6

A

1009-3583（2010）-05-0111-05

2010-06-24

胡成龙，男，江苏江阴人，遵义市第二中学数学教师。