关于曲面的高斯像的一个定理＊

吴 芸,纪永强

(湖州师范学院理学院,浙江湖州313000)

关于曲面的高斯像的一个定理＊

吴 芸,纪永强

(湖州师范学院理学院,浙江湖州313000)

可展曲面是直纹曲面的一种类型,可展曲面就是沿每一条直母线只有一个切平面.通过几何分析方法,讨论了直纹曲面,给出了直纹曲面是可展曲面的一个充分且必要条件.得到直纹曲面是可展曲面,其充要条件是:曲面S的Gauss映射像是一条曲线.并给出这个定理应用的例子.

直纹曲面;可展曲面;高斯映射

MSC 2000:53C17

1 直纹曲面与可展曲面

我们知道,由动直线产生的曲面称为直纹曲面,动直线为该直纹曲面的直母线,如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面.在文献[1]中,利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系刻画直纹曲面是可展曲面.在文献[2]中,利用单参数平面族的包络面刻画直纹曲面是可展曲面.本文利用曲面的高斯映射像刻画直纹曲面是可展曲面.

特别地,当ρ (u)=ρ0是常矢量时,

是锥面,

定理A[3]直纹曲面S为可展曲面,其充要条件是:或者S是柱面,或者S是锥面,或者S是某一条曲线的切线曲面.

2 曲面的高斯映射

曲面S的球面像S2可以写成映射:

我们称曲面S到单位球面S2之间的映射G为高斯映射.

S2是整个单位球面.圆环面

的球面像的方程也是(5)式.所以球面与圆环面的球面像都是单位球面,因为球面和圆环面都不是直纹曲面,所以它们不是可展曲面.

S2退化成单位球面上在xOy坐标平面上的单位圆,圆柱面是可展曲面,它的球面像是一条曲线.

3 基本定理及证明

证明 “⇒” 由定理A[3]知,直纹曲面S是可展曲面的充要条件是:或S是柱面,或S是锥面,或S是某一条曲线的切线曲面.所以

曲面S上任一点的法矢量

故柱面S的Gauss映射像是:

S2是参数u的函数,所以S2是一条曲线.

锥面S上任一点P(u,v)的法矢量为:

因只考虑锥面上的正则点,所以v≠0,故锥面S的Gauss映射像是

S2也是单参数u的函数,所以S2是一条曲线.

则

切线曲面S上的任一点P(u,v)的法矢量为:

故曲面S的Gauss映射像是:

S2是一条曲线.总之,可展曲面的Gauss映射像S2是一条曲线.

曲面S上任一点P(u,v)的法矢量为:

即

得{πt}是单参数t的平面族.将(15)式写为:

又因为准线C∶ρ→=ρ→

(t)与每一条特征线Lt相交,所以

对(18)式的第一式求导再利用第二式得:

即

即

得(24)式就是(16)式,所以(24)式就是曲面S的切平面,故S是切平面族{πt}的包络面.

由(21)式知,对于v1≠v2,有:

称为曲线C的极线曲面.我们证明:S极可展的充要条件是S极的Gauss映射像是一条曲线.

证明 “⇒” 因为

所以曲面S极的Gauss映射像为:

所以S2是一条曲线.

“⇐” 因曲面S极的Gauss映射像

是一条曲线,所以S极上任一点P(s,v)的切平面是:

即

单参数平面族{πs}的特征线的方程组为:

即

因平面πs的法矢量,得特征线Ls的方向矢量为:

上的点满足方程组(29)式,故(31)式就是包络面的准线,由(30)式和(31)式知,{πs}的包络面的方程是:

S包就是S极.由文献[3]中定理3.6.7知,S包是可展曲面.或者,由于直纹曲面(32)的准线为:

因为

由文献[3]中定理3.6.1知,S包是可展曲面.

[1]孙国汉,赵培林,刘以均.曲面可展的条件[J].阜阳师范学院字报,1996,27(1):22～25.

[2]赵燕,纪永强.直纹曲面是可展曲面的一个充要条件[J].湖州师范学院字报,2009,31(2):26～30.

[3]纪永强,微分几何[M].北京:高等教育出版社,2009:181～211.

Abstract:The developable surface,along every straight line,each w ith only one tangent p lane,is a type of ruled surface.Our purpose is to give a sufficient and necessary condition of the developable surface. We use the methods of geometry analysis to study the ruled surface,and get a sufficient and necessary condition of the developable surface,that is,Gauss Mapping of the Curved Surface is a curve and finally gives an examp le of this new app lication of the theorem.

Key words:developable surface;ruled surface;Gaussmapping

MSC 2000:53C17

A Theorem About Curved Surface Gauss Mapping

WU Yun,JI Yong-qiang
(Faculty of Science,Huzhou Teachers College,Huzhou 313000,China)

O186.11

A

1009-1734(2010)02-0027-05

2010-02-10

吴芸,湖州师范学院2007级本科生,从事微分几何研究.