基于小波变换的CT/PET图像融合最佳参数研究

刘凌湘陈武凡周凌宏徐子海陈超敏*

1(南方医科大学生物医学工程学院，广州 510515)2(解放军303医院放射治疗中心，南宁 530021)

基于小波变换的CT/PET图像融合最佳参数研究

刘凌湘1陈武凡1周凌宏1徐子海2陈超敏1*

1(南方医科大学生物医学工程学院，广州 510515)2(解放军303医院放射治疗中心，南宁 530021)

为了提高基于小波变换图像融合的性能，在图像融合规则相对固定的情况下，提出一种确定最佳小波基函数和分解层数的方法。从图像的信息熵出发，通过比较低频子带图像熵差与原始图像熵差的接近程度，选择每一种小波基所对应的最佳分解层数;在小波分解层数确定的情况下，结合图像融合评价方法，选择最佳的小波基函数。与引入融合效果的评价构成一个闭环系统来确定小波参数相比，该方法极大地简化了判别过程;将该方法应用于CT/PET图像融合，获得了较好的融合效果。实验结果表明，该方法简单可行，对基于小波变换图像融合的小波参数选取有一定的指导意义。

CT/PET;小波变换;图像融合;小波基;分解层数

Abstract:In order to improve the performance of image fusion based on wavelet transform，a new approach to determine the best wavelet base and decomposition level was proposed in the case of image fusion rule was ralatively fixed.First，according to the image information entropy，the best decomposition level of each wavelet base was selected by comparing the difference of both low-frequency sub-band image entropy and the original image entropy.After the best decomposition level was determined，the best wavelet base was chosen by image fusion evaluation methods.Compared with the method in which the parameters of wavelet decomposition were determined by introducing image fusion evaluation methods to form a closed-loop system，the proposed method greatly simplified the distinction process.The results of CT/PET image fusion were satisfying as well.The method is simple and feasible in selecting the wavelet parameters for wavelet transform based image fusion.

Key words:CT/PET;wavelet transform;image fusion;wavelet base;decomposition level

引言

随着医学影像技术的发展，多种成像模式的影像技术已广泛应用于临床诊断和治疗中。医学成像模式可分为解剖成像和功能成像两大类:前者如CT(计算机断层成像)，主要以较高的分辨率提供人体的解剖形态信息，为病灶定位提供很好的参照，但无法反映脏器的功能代谢信息;后者如PET(正电子发射成像)，反映了脏器的代谢水平和血流状况，对肿瘤病变呈现“热点”，能及早地发现病灶，但无法提供病灶的解剖细节。倘若将这些解剖图像和功能图像的互补信息有机地融合成一幅新的图像，就可得到同一解剖结构更丰富的信息，进而使医师更清楚地了解病变脏器的综合情况，做出更精确的治疗计划，而医学图像融合恰好就解决了这一问题。医学图像融合技术是信息融合技术在医学影像学领域的应用，它是对来自于不同成像技术的图像经过必要地变换以达到空间坐标的匹配，然后利用图像间的冗余及互补信息，将它们有机地结合在一起，得到一幅包含更多信息的新图像，为临床诊断提供更大的帮助。

目前，利用小波变换进行医学图像融合的研究相当多，但主要体现在对融合规则的研究上，而对如何选取最佳小波基函数和最佳分解层数的研究很少。多数文献通过引入图像融合效果评价构成闭环系统来选择小波参数，需要不停地改变小波基和分解层数［1］。也有单独考虑小波参数选取的，如文献［2］提出了最优小波包基选择的熵准则，通过构造代价函数来选择最优小波基，但仅限于考虑单一信号或单一图像。文献［3］提出可通过比较低频子图像的熵差来选择最佳小波分解层数，采用图像经过归一化处理后的像素值来计算图像的熵。笔者则在借鉴上述参数选取方法的基础上，提出以下判别准则:首先，通过比较低频子图像熵差与原始图像熵差的接近程度来选择每一种小波基所对应的最佳分解层数，采用像素灰度概率值来计算图像的熵;然后，根据所确定的分解层数，对采用不同种小波基所得到的融合图像效果进行评价，其中融合效果最好的小波基为最佳小波基。在实验时，结合CT/PET图像得出了最佳参数，其所对应的融合图像在主客观上均取得了较好的融合效果。

1 基于小波变换的图像融合

小波变换是20世纪80年代后期发展起来的新的数学分支，是一种时频局部化分析方法，可以“聚焦”到对象的任意细节，被誉为“数学显微镜”。基于小波变换的图像融合的本质是:采用不同的滤波器，将源图像分解到一系列的频率通道中;然后针对系数特性，采用不同的融合规则和融合策略，对变换系数进行操作;最后利用小波逆变换重构融合图像。算法可以用一个公式化模型［4］表示为

式中，Ii(x，y)(i=1，2，3，…，N)表示待融合的图像，F(x，y)表示融合结果，ω表示小波正变换，ω-1表示小波逆变换，φ表示融合算子。

根据Mallat的塔式小波分解理论［5］，经二维小波变换，图像被分解成低频子带和高频子带两部分。其中，低频子带反映的是图像的近似分量，代表原图像的基本信息;高频子带反映的是图像在水平、垂直、对角三个方向的细节分量，对应图像的边缘、线、区域、边界等处的信息。从式(1)可以看出，采用合理的融合规则是获得高品质融合的关键。本研究侧重于研究最佳小波参数，采用了简单的基于像素的融合规则，对低频部分采用加权求和、高频部分采用绝对值最大值法的融合规则［5-6］。

2 最佳小波参数选取

2.1 小波基函数

基于小波变换的图像融合是以图像小波变换后各尺度的小波系数为基础的，不同类型的图像经小波变换后，其系数的分布特性是不同的。就算是同一类型、同一幅图像，采用不同的小波基函数进行变换，所得变换系数的分布特性亦不同，这是由小波基的正交性、紧支性、消失矩、正则性及对称性等多种属性的差异造成的［7］。因此，为了获得最佳的融合性能，选择合适的小波基是非常关键的。实际应用中，有很多小波基可供选择，这里选取了文献中常用到的 Haar小波基，Daubechies、Symlets、Coiflets及 Biorthogonal小波基系列［2］。实验时为了便于比较，对这些小波基进行编号，如表1所示。

表1 小波基函数的编号Tab.1 The number of wavelet base

2.2 小波分解层数

以一幅图像的小波分解为例，小波分解过程如图1所示。原图像采用一层小波分解后，得到低频子带近似分量(LL)，以及高频子带水平(LH)、垂直(HL)、对角(HH)三个细节分量;二层小波分解是对近似分量(LL)再进行分解，得到 LL2、LH2、HL2及HH2;三层及多于三层的分解可依次类推。N层小波分解后可得到(3N+1)个频带［5，8］。

图1 图像的小波分解过程Fig.1 The wavelet decomposition process of an image

由图1可知，图像的小波分解是利用上一级频带分解后得到的低频子带近似分量作为下一级频带分解的输入，随着分解层数的增加，级间的滤波器增多，信号的移位增大。同时，低频子带的空间分辨率降低，低频子图像越来越模糊，边界延拓造成的块状效应越来越明显，引起的边界失真也越来越大。虽然，通过小波逆变换可以得到原图像，但不能恢复已损失的信息量。因此，在采用小波变换做图像融合时，需限制图像的分解层数。

在文献［2］中提出，可以采用wmaxlev函数来计算小波分解的最大层数(尺度)，但一般情况下，小波变换的分解层数都小于这个理论计算的最大值。其次，由于小波变换综合考虑了图像的各个频带信息，对细节信息的提取很有效，可应用于各种图像融合，如医学图像、红外图像、可见光图像、雷达图像、多光谱图像等。不同类型的图像进行融合，其侧重点是不同的，但最终目的是获取对目标更为清晰的表达，便于人眼识别。因此，可依据理论计算的最大分解层数，以此作为分解的上限，对图像进行不同层数的分解，依据人眼的主观观察及一些客观评价指标，选择效果最好的融合图像，进而限制图像的分解层数。笔者提出基于信息熵的低频子带图像熵差来确定分解层数。

2.3 选择准则

在文献［1］中，通过引入图像融合效果评价构成闭环系统来选择小波参数，即对图像进行融合后，对融合图像的融合效果进行评价，然后改变小波分解层数和小波基的种类，最后采用融合效果最好的小波参数进行后续图像的融合处理。文献［3］中，通过比较低频子图像的熵差来选择最佳小波分解层数，熵的计算公式为

式中，mn为图像的像素数，xi(1≤i≤mn)为原始图像经过归一化处理后的一个像素值。

借鉴上述参数选择方法，提出以下判别准则。

第一步，确定每一种小波基函数所对应的最佳分解层数。由于小波分解后的低频子带反映的是图像的近似分量，可以间接地表示原图像的信息，随着分解层数的增加，低频子带的信息量增大，与原始图像的差异也越来越小。因此，可以通过比较低频子图像与原图像的差异来选择小波分解层数。熵作为一种图像融合评价手段，反映了图像的平均信息量［9］，计算公式有别于式(2)，为式中，pi为灰度值等于i的像素数与图像总像素数之比，即某一灰度值i在图像中出现的概率，n为灰度级总数。

因此，可以用熵来表示低频子图像与原图像的差异。对两幅图像而言，可以考虑二者之间的熵差。比较图像分解后低频子图像的熵差和原始图像熵差，使二者最接近的分解层数即为最佳分解层数。

这里以 CT、PET图像为例，两幅原图像的熵差为

设 enct、enpet分别代表两图像分解后的低频子图像的熵，则其熵差为

式中，n为两幅图像进行小波变换的分解层数，一般取1～7。

当|Δe-Δen|取最小时，对应的 n就是最佳分解层数。由于每一种小波基分解后的低频子图像是不同的，因而每一种小波基所对应的最佳分解层数也是不同的。

第二步，根据所确定的分解层数，对采用不同种小波基所得到的融合图像效果进行评价，使融合效果最好的小波基为最佳小波基。采取的基本步骤为［10］:

步骤1，选取每一种小波基(表1所列举的小波基)所对应的最佳分解层数;

步骤2，在分解层数确定的情况下，采用多种小波基进行小波分解;

步骤3，对各分解层分别进行融合处理，低频加权求和，高频用绝对值最大值法，得到融合图像的小波系数;

步骤4，对所得到融合图像小波系数进行小波逆变换(即进行图像重构)，所得到的重构图像即为融合图像;

步骤5，对融合图像进行综合评价，融合效果最好的图像所对应的小波基为最佳小波基函数。

对于步骤5，图像融合质量的评价主要有主观评价和客观评价两种。主观评价属于定性评价，是一种主观性较强的目测方法，具有直观、简单、方便、快捷等优点;客观评价属于定量评价，能克服主观性。客观类评价方法有很多，这里主要取信息熵、互信息、交叉熵、相关系数等融合评价指标，相应的计算公式可参考文献［5，11］。其中，互信息取融合图像与CT图像及融合图像与PET图像的平均值，交叉熵及相关系数也按此方法计算。

图像的熵是衡量图像信息丰富程度的一个重要指标，融合图像的熵越大，说明图像中包含的信息越多，融合效果越好。互信息是信息论中的一个重要基本概念，可作为两个变量之间相关性的量度，或一个变量包含另一个变量的信息量的度量，因此融合图像与原始图像的互信息越大越好。交叉熵直接反映了两幅图像的差异，交叉熵越小，则融合图像和原图像的差别越小。相关系数反映的是两图像之间的相关性，值越大效果越好。

可用图2表示该小波基函数判别的融合步骤:设A、B为已配准好的两幅原图像，F为融合图像。

图2 小波图像融合方法Fig.2 Wavelet image fusion method

3 实验及其结果

对一张512像素×512像素的CT图像和一张128像素×128像素的PET图像进行算法的实验验证，两种图像分别来自解放军303医院影像中心的CT室和PET中心，均为标准的DICOM格式。CT为GE产品，型号 prospeed‖，物理孔径为65 cm，FOV为43 cm;PET也是 GE产品，型号 DISCOVERY16，物理孔径为90 cm、FOV为70 cm。算法用 Matlab 7.0.1编写，运行的硬件环境为Intel(R)Celeron(R)CPU 2.40 GHz、1.25 GB的内存。在实验前，先对CT和 PET图像进行格式转换，转换成 BMP格式;然后对PET图像进行双线性插值，以统一图像的大小;接着，采用最大互信息方法对图像进行配准，以保证融合图像质量。图3为两幅已配准好的CT图像和PET图像，大小为512像素×512像素。

图3 原始图像。(a)CT图像;(b)PET图像Fig.3 The original image.(a)CT image;(b)PET image

利用不同的评价方法，对这38种小波基在各自分解层数确定下的融合效果进行比较，见图4。横坐标表示的是小波基函数的种类，纵坐标表示的是用最大值归一化后的熵值、互信息、交叉熵、相关系数。

由于每一系列的小波基函数有其各自的相同点，仅是小波滤波器的长度不同，因此在讨论融合效果时，分各个不同的系列进行讨论。同时，结合主观评价方法，以弥补客观评价所带来的不足。对于熵值、互信息、交叉熵、相关系数这4个标准，在判断图像融合效果时，首先分析融合图像的熵值，排除熵值较低的融合图像，然后利用互信息、交叉墒及相关系数来考虑融合图像与原始图像之间的继承关系，并综合各种评价值，选取融合效果最好的图像。

从图4可以看出:当采用 Haar小波基时，融合图像信息熵偏低，与其他小波基相比较，融合效果较差。当采用Daubechies小波基系列时，db5所对应的融合图像熵最大，交叉熵最小，但相关系数却最小;db8次之，同时，db8所对应的融合图像互信息也最小;而db3的各项指标均适中，融合效果好。当采用Symlets小波基系列时，sym4对应的融合图像熵值及互信息最大，但融合图像出现模糊阴影;sym5对应的融合图像，熵值及相关系数略低于sym7，但互信息仅次于sym4，且交叉墒较低，融合效果较好。当采用Coiflets小波基系列时，coif2的融合效果最好。当采用 Biorthogonal小波基系列时，bior2.2的各项评价指标较优，融合效果相对好些。

对所得到的每一系列最好的融合图像作比较，在客观评价上，sym5对应的融合图像效果最好，而从视觉上来说，差异不是很大，均可以这些参数进行图像融合。图5所示的是按照所确定的参数进行图像融合后所得的融合图像。

图4 融合图像的客观评价。(a)信息熵;(b)互信息;(c)交叉墒;(d)相关系数Fig.4 The objective assessment of fused images.(a)entropy;(b)mutual information;(c)crossentropy;(d)correlation coefficient

4 结论

采用小波变换进行医学图像融合时，小波基函数的选取及小波分解层数的选择将影响融合图像的性能。笔者依据图像熵差确定小波分解层数，依据融合评价指标确定小波基函数，该方法简单可行。在实验过程中，确定小波分解层数这一环节，由于不需要引入融合规则，节约了判别的时间。通过实验可以发现，在采用不同小波基函数进行图像融合时，所对应的最佳分解层数是不同的，但一般不超过5层。同时，同一系列的小波基函数，随着小波滤波器长度的增长，小波分解系数增加，计算量增加，程序运行的时间也增加，所以，如果强调实时性，可采用滤波器长度较短的小波基函数。

图5 CT与PET的融合图像。(a)db3小波基+2层;(b)sym5小波基 +2层;(c)coif2小波基 +4层;(d)bior2.2小波基+1层Fig.5 Fusion image of CT and PET.(a)db3+2 levels;(b)sym5+2 levels;(c)coif2+4 levels;(d)bior2.2+1 level

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Research of Optimal Parameters of CT/PET Image Fusion Based on Wavelet Transform

LIU Ling-Xiang1CHEN Wu-Fan1ZHOU Ling-Hong1XU Zi-Hai2CHEN Chao-Min1
*1(Institute of Biomedical Engineering，Southern Medical University，Guangzhou 510515，China)2(Radiotherapy Center of PLA 303 Hospital，Nanning 530021，China)

R814

A

0258-8021(2010)04-0498-06

10.3969/j.issn.0258-8021.2010.04.004

2010-01-27，

2010-04-23

国家重点基础研究发展(973)计划(2010CB732500);广东省科技计划项目 (2007B01040056)

*通讯作者。 E-mail:gzccm@fimmu.com.