圆锥曲线与准线顶点有关的一个统一性质

●彭世金 (常德市第六中学 湖南常德 415003)

笔者通过对圆锥曲线的研究，得到圆锥曲线与准线顶点有关的一个统一性质.

图1

由点P在切线PA，PB上，可得

消去x，并化简整理得

由根与系数的关系得因此

将椭圆在顶点E处的切线方程x=a与切线PA，PB的方程联立，可得点M，N的纵坐标yM，yN分别为

类似地，可证双曲线与抛物线的如下性质：

性质2 如图2，已知双曲线

图2

图3

性质3 如图3，已知抛物线y2=2px(p＞0)，F是抛物线的焦点，点E是抛物线的顶点，P是抛物线的准线l上任一点，过点P作抛物线的2条切线PA，PB，切点分别为 A，B，PA，PB 与抛物线在顶点E处的切线分别相交于点M，N.记抛物线的离心率为 e，A，B，M，N 的纵坐标分别为 yA，yB，yM，yN，则

从而切点弦AB的方程为

又由根与系数的关系得

将抛物线在顶点E处的切线方程x=0与切线PA，PB的方程联立，得点M，N的纵坐标分别为

由式(3)，式(4)得

注意到抛物线的离心率e=1，故