一道电磁感应试题的剖析与解答

陈林桥

(江苏省扬中市教研室,江苏扬中 212200)

题目.如图1所示,光滑斜面的倾角 α=30°,在斜面上放置一矩形线框abcd,bc边的边长l0=0.8 m,ab边的边长l1=1 m,线框的质量 M=4 kg,电阻 R=0.1 Ω,线框通过细线绕过光滑的定滑轮与重物相连,滑轮的质量不计,重物的质量m=1 kg,斜面上ef和gh线为斜面上有界匀强磁场的边界,与斜面的底边平行,ef和gh线的间距l2=1.8 m,磁场方向垂直于斜面向上,B=0.5 T,开始cd边离gh边的距离l=2.25 m,由静止释放,线框恰好能匀速穿过ef边界,线框滑动过程中cd边始终与底边平行(设斜面足够长,重物m不会与滑轮接触,g取10 m/s2).求:

(1)线框cd边刚进入磁场时速度的大小.

(2)线框进入磁场过程中通过线框的电荷量.

(3)线框进入磁场过程中在线框中产生的焦耳热.

图1

剖析:这是一道以线框与物块构成的连接体通过斜面上某一磁场区域为背景的力电综合题,着重考查了力的平衡、动能定理、功能转化以及电磁感应定律、欧姆定律等相关的主干知识,从而有效地检测了学生的综合分析问题、解决问题的能力.题目的设问也很有梯度,试题的检测功能也比较强大.正因为如此,此题被许多地方的考卷所采用.然而,殊不知,这道题目的“线框恰好能匀速穿过 ef边界”这一条件是有问题的.

解析:(1)设 M下落高度H0=lsin30°=1.125 m,重物m上升的高度h0=l=2.25 m,则 M和m系统机械能守恒,则

代入数据,得到线框刚进入磁场时的速度为

(2)设线框进入磁场的过程中产生的感应电流的平均值为¯I,磁通量的变化量为ΔΦ=Bl0l1,变化的时间为Δt,平均感应电动势为¯E,通过线框的电荷量为 Q,则有

由(3)～(5)式,代入相关的数据得

(3)线框cd边从开始切割磁感线到全部进入磁场以及线框cd边从离开磁场仅有ab边切割磁场直到整个线框离开磁场的过程中,线框abcd、轻绳和重物 m这一系统都遵循如下的规律.

由牛顿第二定律,得

即

为了讨论问题的方便,设

代入相关的数据,得到 a=2,b=0.5,于是(7)式变为

对此式积分

得到

从(9)式可以看出,线框的运动速度是随时间的变化而变化,并不是一定值,因此,无论是线框进入磁场,还是线框离开磁场,都不可能做匀速直线运动,所以题设中“线框恰好能匀速穿过ef边界”这个条件是不成立的,这道题的问题就出在这里.

只要将题目中“线框恰好能匀速穿过ef边界”这段文字去掉,题设条件就自洽了,这道题目也就正确了.题目的第(1)问、第(2)问的解答仍然如上面的解答一样,对于第(3)问,要在中学阶段求解线框进入磁场过程中在线框中产生的焦耳热还是相当困难的,而用高等数学的知识可以这样求解:

将 a=2,b=0.5,以及 v0=3 m/s代入(9)式和(10)式得到

令 x=l0=0.8 m,代入(12)式,运用几何画板,可以解出时间 t≈0.26 s,再将 t=0.26 s代入(11)式,解得线框刚完全进入磁场时速度为v1=3.12 m/s,由功能关系得

由 H1=l0sinα,h1=l0代入相关的数值,解得

Q′=6.16 J.