电池老化时欧姆表测量误差式的推证、诠释和例算

潘积亭

(杭州第十四中学,浙江杭州 310006)

关于旧电池对欧姆表测量的影响,讨论甚多,却未见误差算式出现.其中不少导出以测量时表中电流与表内阻关系[1]的半成品形式出现,这只能对测值大小偏向予以定性分析,不能作定量计算;虽也有文曾推出了用电池电动势表达的相对误差算式,却是以串联调零的简单欧姆表[2]为模型.一些万用表书在对欧姆档计算时,更把调零中表总阻的变化率替代误差[3、4].而测量误差的算式却是一切讨论的的基点.故本文重点是沿电池老化时对实际欧姆表测量误差产生的物理过程来推证误差算式.

1 误差算式推导

设欧姆表的表头满偏电流 Igm,标称值时:表内电池电动势E,内电阻 r,在某挡正确调零时(图1)Ω表总电流Im,表内总电阻 Rm;串入被测电阻 Rx时,表头电流和Ω表总电流分别为 Ig和 I,则有为表内电路中电流变换系数由调零电路参数决定).再由欧姆定律

图1

在调零时,有

串入电阻 Rx后

由(1)、(2)式得

或变为

(3)式与(4)式虽是数学变换,却反映两个不同的物理过程.(3)式表示串入电阻Rx后电路内变成电流讯号的过程,Rx可看作是被测电阻的真实值;而(4)式表示电流讯号在Ω表尺上转换成电阻值的过程,是画制Ω表尺(R中=RM)的依据,其 Rx应看作是测量值(在 RM未变时,两者显然相等).

当电池老化时,电动势降为 E′,内电阻增为 r′,经调零Ω表总电流变为 Im′,表内总阻变为 RM′.串入同一被测电阻 Rx时表头电流和Ω表总电流分别变为 Ig′和I′,这时有随调零时分流电路结构参数而变化),类似上面对(3)式的推导可得此时表头中电流的关系式为

或变为

如果这时重新以(6)式为依据画制以中刻度为 R中′(=RMˊ)的Ω表尺.则测 Rx时在新表尺上所示的电阻值(即(6)式左边的量)仍是 Rx,无测量误差.而实际上,反映Ig′量的表针却仍在该表的原Ω表尺(R中=RM)上(即按(4)式)示值,所得测量值将变为另一值 Rx′(≠Rx),这样就产生了误差.反应在算式上是将 Ig′换以(4)式中 Ig,其左端的 Rx变为 Rx′.即

再具体将(5)式中的 Ig′代入(7)式,即得在电池老化的Ω表上测电阻 Rx时(在原表尺上的指示值)的测量值 Rx′为

测量的绝对误差为

测量的相对误差为

2 对误差算式的诠释

(1)在(3)～(10)式中均无电流变换系数k,表明实际欧姆表(图1)与简单表(图2)在测量原理和误差算式上均相同.

图2

(2)由(10)式知,测值的相对误差与本文始述的表内阻变化率不仅概念上不同,且表达式也有异(具体表现符号和分母均不同),因此将此两者混同是不妥当的.

(3)(10)式中ΔRM=(RM′-RM)指的是电池用旧经调零欧姆表总阻 RM′对标称总阻RM(即 R中,等于表尺中刻度值乘该挡倍率)的变化量.而不是对新电池(E可达1.6 V)或标称电池(E为1.5 V,这时表内总阻不一定恰等于标称总阻 R中)时表总阻的变化量.

3 误差算式的简单例算

实际欧姆表与简单表虽在测量误差算式上相同.但在具体计算电池老化表内阻的变化量ΔRM时,其值和偏向却因两者在调零结构等的差异而大有不同.

对简单表来说,在电池老化电动势从标称值E=1.5 V降到 E′=1.25 V时,由(10)式得测量误差(偏大),与电池内阻变化无关.

对实际欧姆表来说,因是并联调零,由电动势降低通过调零引起表内阻变化(多为减小)量并不大,且主要表现在(没有配挡分流电阻或高限流电阻串接的)较高挡(多为R×1 kΩ挡),且多数表测值偏大(偏值与偏向均与调零电路参数有关,与电池内阻变化影响甚小).以常用MF-30表(图3)为例,在 R×1 kΩ挡(RM=R中=25 kΩ),当 E=1.25 V时,由电路参数算得 RM′=24.73 kΩ,这时由(10)式得测量误差

最大误差发生在极限调零(对应 E=1.24 V)时,RM′=

对实际欧姆表来说,电池内阻增大的影响主要表现在最低挡(这里调零对表内阻的影响甚小,可略计),且多为先偏大后偏小.仍以MF-30表为例,在×1 Ω挡(RM=25 Ω),在电池用旧不能调零时,内电阻增量(对各电池是不一样的)以Δr=0.5 Ω计(此时 E=1.35 V),由(10)式得测量误差为(偏小).有的表欧姆挡电源用 2节 5号电池串成,在 R×1 Ω挡 RM又不大时,测量误差就会大些.但若配用新型碱性电池(容量大、内阻小)时,误差会明显减小.

附:MF-30(B型)欧姆挡电路

图3

表头:Igm=37.5 μ A,Rg0=2 kΩ.电池(标称值):E1=1.5 V,r1=1.8 Ω(含熔丝和表笔等电阻),E2=15 V,r2=1 kΩ.Rs0=4.3 kΩ,RD=1.7 kΩ,Rf1=23.2 kΩ,Rf2=224 kΩ.(各挡分流电阻)RT1=23.2 Ω,RT2=251 Ω,RT3=2.77 kΩ.(调零回路各电阻和)R回=Rg0+Rs0+RD=8 kΩ.(调零回路分流电阻)Rs=Rs0+RD1.(调零电位器始滑点间电阻)RD1=Rs-Rs0.(调零回路表头支路电阻)Rg=R回-Rs.

1 罗贤辉.结论恰恰相反—再谈旧电池对欧姆表测量结果的影响.物理通报,2008(11).

2 戴统一.欧姆表测量误差原因分析.物理教师,1993(9).

3 沙占友等.万用表的功能扩展与应用.北京:电子工业出版社,2005.23～24

4 赵宝义.万用电表.上海:上海人民出版社,1979.67～78