数学建模思想在初中教学中的应用

马艳丽

摘要:在教学中引入建模思想,适当开展数学建模的活动,对学生的能力培养能发挥重要作用,也是数学教学改革推进素质教育的一个切入口,本文是本人对教学中引入数学建摸的作用及活动方法的一些简单体会。

关键词:数学建模 建模思想 培养能力 提高素质

在教学中引入建模思想,适当开展数学建模的活动,对学生的能力培养能发挥重要作用,也是数学教学改革推进素质教育的一个切入口。让学生学会解决简单的实际问题是新课标的教学目的之一,数学建模就是将具有实际意义的应用题,通过数学抽象转化为数学模型,以求得问题的解决。

一、数学建模与学生能力培养

数学建模面临的是实际问题,它是用实际生活的语言描述的,而不是现成的数学语言描述的问题,且问题也是较复杂的,问题夹杂着有用或无用的,主要或次要的信息,学生首先要对问题提供的信息进行分析、筛选、区分,抓住主要因素进行定量研究。要尽可能完美地表达实际问题和求解方便这一对矛盾。这是一个抽象描述,简化问题的过程,这一过程使学生的分析、抽象、综合区分信息的能力得到训练和发挥。

二、数学建模开展的方法

用数学建模解决实际问题,首先经过观察分析,筛选获得的信息,洞察实际问题中的数学结构,提炼出数学模型,然后再运用数学知识去处理建立的模型,这不仅要求学生有一定的抽象能力,而且要有相当的观察、分析、综合、类比、推断等能力,学生这种能力的获得不是一朝一夕的事情,需要把数学建模意识贯穿在教学的始终,为将数学建模活动融入到平时的教学中,根据我的体会,针对以下几个例子以做分析:

1. 建立不等式模型

在市场经营、生产决策和社会生活中,如估计生产数量,核定价格范围,盈亏平衡分析,投资决策等,则可挖掘实际问题所隐含的数量关系,转化为不等式(组)的求解或目标函数在闭区间的最值问题。

例1 某工厂生产的产品每件单价是80元,生产成本是60元,该工厂每月其它总开支是50000元。如果该工厂计划每月至少要获得200000元利润,假定生产的全部产品都能卖出,问每月的生产量应是多少?

简析:设每月生产x件产品,则总收入为80x,直接生产成本为60x,每月利润为80x-60x-50000=20x-50000,问题转化为求不等式20x-50000≥200000的解,解得x≥12500(件)。

2. 建立几何模型

诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题,涉及一定图形的性质常需建立几何模型,转化为几何问题求解。

例2 如图1,足球赛中,一球员带球沿直线l逼近球门AB,他应在什么地方起脚射门最为有利?

分析:这是几何定位问题,根据常识,起脚射门的最佳位置P应该是直线l上对AB张角最大的点,此时进球的可能性最大,问题转化为在直线l上求点P,使∠APB最大。为此,过AB两点作圆与直线l相切,切点P即为所求。

3. 建立方程模型

对现实生活中广泛存在的等量关系,如增长率、储蓄利息、浓度配比、工程施工及人员调配、行程等问题,则可列出方程转化为方程求解问题。

例3 如图2(1),在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小相等的六块作实验田,要使实验地面积为570m2,问道路应为多宽?

简析:如图2(2),作整体思考,设道路的宽为xm,则问题转化为求方程(20-x)(32-2x)=570的解,解得x1=1,x2=35(不合题意,舍去)。

4. 建立目标函数模型

对于现实生活中普遍存在的最优化问题,如造价用料最少,利润产出最大等,可透过实际背景、建立变量之间的目标函数,转化为函数极值问题。

例4 某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出最大利润。

分析:设每件售价提高x元,则每件得利润(2+x)元,每天销售量变为(200-20x)件,所获利润y=(2+x)(200-20x)=-20(x-4)²+720,故当x=4时,即售价定为14元时,每天可获最大利润720元。

综上所述数学建模所要解决的问题,大部分是实际生活中的例子,从构造数学模型、设计求解模型的方法到再回顾等整个过程由学生去发现,去设计、去创新、去完成,而教师的作用是只为学生的创造性思维提供良好的环境和机会,乃至服务,不应该鼓励学生多解模仿性的问题,因为一旦学生习惯这种近似机械操作之后,他们的自主学习能力、思维能力就会大大降低,应该大力引导主动的精神、好的想法、数学的思维方式及细致的作风。

参考文献:

[1] 小学数学课本:六年级(下册),人民教育出版社,1998年出版

[2] 中学数学课本:1——6册,人民教育出版社,1998年出版

[3] 大学数学建模课本,内蒙古出版社 1998年出版