中学生数学能力结构文献述评

瞿 勇

摘要：能力结构是指能力内部各要素、成分之间合乎规律的组织形式。教学能力是顺利而有效地完成数学活动的个性心理特征。已有的文献主要集中在两个方面：能力结构的论述和研究。在研究结果上几乎都提到了运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，在研究方法上，使用了描述性统计、推断统计和多元统计。对于不同类型的学校学生的数学能力结构是否有显著差异，以及对于日常教学的改善是有待研究的问题。

关键词：中学生数学能力结构述评

能力是指影响人的心理活动的效果和效率的心理特征。能力结构是指能力内部各要素、成分之间合乎规律的组织形式。数学能力是顺利而有效地完成数学活动的个性心理特征。关于数学能力的分类纷繁复杂，本文将对中学生的数学能力结构做一个述评。

一、已有的数学能力结构研究概述

教学大纲中小学数学教学大纲把数学能力分为运算能力、逻辑思维能力和空间观念，并包括能够运用所学知识解决简单的实际问题的能力。运算能力是运算技能与逻辑思维能力的结合。逻辑思维能力是要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括，会用归纳、演绎和类比进行推理，会准确阐述自己的思想和观点'形成良好的思维品质。

(一)根据笔者收集的资料来看，已有的文献主要集中在两个方面：

1.中学生数学能力结构的论述

王朝霞、张庆认为数学能力结构主要由运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力构成。周学海在《数学教育学概论》中提出，数学能力结构的基本成分为：数学观察能力、数学记忆能力、逻辑思维能力和空间想象能力。郑君文、张恩华所著的《数学学习论》写道：数学能力由运算能力、空间想象能力、数学观察能力、数学记忆能力和数学思维能力组成。王岳庭等提出五种数学能力成分构想：数学抽象能力、数学概括能力、数学推理能力、数学语言应用能力、数学直觉能力(《数学教学》1990年第6期)。孙宏安提出：数学能力应包括计算能力、数学证明能力、空间想象能力和数学问题解决能力(《现代数学教育理论》)。张士充从认识过程角度出发，提出数学能力的四组八种能力成分。国家新颁布的《高中数学课程标准》则从学科教育的角度指出：“要培养学生逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识解决问题的能力。”而孙以则综合以上观点，在“数学能力的成分及其结构”一文中提出，数学能力分为基础能力(数学观察力、注意力、记忆力、运算能力)；核心能力——数学思维能力(数学抽象能力、逻辑思维能力、创造性思维能力和空间想象能力)；综合性数学能力(数学问题解决能力)。吴伟鸿在“谈中学数学能力结构与测试”中提出，中学数学能力结构由获得数学信息的能力、数学信息的加工能力、数学信息的贮存能力、数学信息的转化能力。

2.中学生数学能力结构的研究

(1)有关的期刊论文

前苏联心理学家克鲁捷茨基认为数学能力包括三个组成部分：1.数学材料的形式化感知；2.概括数学材料的能力；3.对数学材料的记忆力。(《中小学数学能力心理学》)。

卡洛尔采用探索性因素分析和验证性因素分析以及项目反应理论对数学能力进行了研究，得出了认知能力的三层理论：一般智力为第三层；第二层包括流体智力，晶体智力，一般记忆和学习、视觉、听觉，恢复能力、认知速度、加工速度；第一层包含了100多种能力。

林崇德认为：第一，数学能力结构应当包括传统的三种基本数学能力(运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、以及五种数学思维品质(思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性)。

司徒伟成对中学生数学水平的测量与评价进行了研究，得出了几种主要能力结构：逻辑思维与演算能力以及空间思维与想象能力。

陈仁泽等对厦门市四类中学(高中)入学考试分别进行了Q型与R型因素分析，通过对指标体系矩阵的研究，找出并估计出支配所有指标的四种数学能力：主因素Ⅰ(占总分25％)为抽象概括能力；主因素Ⅱ(占总分26.66％)为综合运算能力；主因素Ⅲ(占总分38.3％)为思维转换能力；主因素Ⅳ为逻辑推理能力。

张君达等在智力与能力发展理论的基础上，重点对组成超常儿童数学能力的因素进行了结构分析。通过因素分析的方法抽出了五个主因素，即综合运算能力、逻辑思维能力：抽象概括能力、空间想象能力、灵活的形象思维能力。

胡中锋采用经典测验理论与项目反应理论相结合，以及探索性因素分析与验证性因素分析相结合的方法，对高中生的数学能力结构进行了研究。结果得出了高中生数学能力结构的四因素模型。四因素为逻辑运演能力、逻辑思维能力、空间思维能力、思维转换能力。非常巧合的是，这里四个能力的归类正好与传统高中数学的分科教学(解析几何、代数、立体几何、三角)相一致。

(2)有关的硕士学位论文

潘榕在硕士学位论文“新课程下初中数学能力因素分析”中以新课程标准下第三学段的内容标准为测试范围，编制了包括数概念及其运算、方程与不等式、几何量及其关系、几何证明、统计推理等十个测试项目的测试题，选择初中生为研究被试，采用因素分析的方法，结合数学学习心理学中有关知识的表征、思维过程、影响迁移过程的因素的研究成果，通过对三因素、四因素、五因素三种结果的分析和比较，得出四因素数学能力构成，即数形推理能力、抽象能力、数式运演能力、表象操作能理力。

杜先存在其学位论文《云南民族中学高一学生数学水平调查及思考》中对云南民族中学高一年级的全体学生的实际数学能力的情况进行了测试，并对测验结果进行了分析，得出结论：学生的实际数学能力发展水平差异显著，整体实际数学能力水平不高，大部分学生的实际数学能力并不像我们想象的那么好，尤其是运算能力。总的来说，学生的推理能力较强，其次是判断能力，而较差的是应用能力，最差的是运算能力。

(3)文献的评述

通过以上的分析可以看出，各位学者在中学生的数学能力结构和成分问题上各抒己见，可谓是“百花齐放、百家争鸣”，但在论述的内容和研究的结果中几乎都提到了运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，这和目前的教学大纲的内容是基本吻合的。

(二)在研究方法上主要分成以下几种：

1.非量化研究

克鲁捷茨基所研究的数学能力。实际是学生感知数学问题的能力。他采用的方法是活动分析法。这就导致克鲁捷茨基所研究的数学能力存在两个问题：一是能力理解的片面性；二是研究方法的主观性。由于没有采用较为科学的量化研究方法，因此其研究结果缺乏客观性。

2.描述性统计

杜先存测试的原则是知识技能结合、难度、时间原则。被试对象的选取存在选取好生与差生比例不当、男女比例不协调的问题，并使用客观的评分方法。缺陷是统计

方法过于简单，只使用描述性的统计，难以得到更深入的结论。

冯国东通过与教师进行座谈和对学生进行测验相结合的办法来考查学生的数学能力，但统计方法仍局限于描述性的统计。

3.推断统计

范叙保等对初一和初二学生进行数学能力成分性别差异研究，测试题分为四个部分，分别考查四种能力。选题的原则是能力单一、层次区分、双基适度、数学应用。统计方法使用了均值差与方差比检验，还进行了智力与非智力因素的调查问卷分析。缺陷是实验的范围较小。

4.多元统计

司徒伟成及编制量表方法是采用的经典测验理论，因素分析是采用的探索性模型，难以克服传统方法本身的局限性。

陈仁泽进行的是正交旋转的因素分析，即假定各分测验之间不存在相关。显然，此假设不一定符合事实。另外，这里采用的高中入学考试成绩没有编制量表，也没有量表的质量指标。因此。整个研究的信度、效度缺乏足够证据。

胡中锋采用经典测验理论与项目反应理论相结合，以及探索性因素分析与验证性因素分析相结合的方法，对高中生的数学能力结构进行了研究。根据已经编制的数学成就测试量表，从1291名被试中先随机抽取接近50％的被试进行探索性因素分析，再采用验证性因素分析计算几种模型的拟合程度。结果得到，4因素模型的拟合程度最高。接下来，又进行了高层因素分析，发现4因素模型再也无法抽出多于一个的公共因素。因此，得出中学生数学能力结构由4个因素组成。

潘榕的初中生数学能力测试问卷的编制分为三个阶段：问卷结构设计、编写测试题目、进行测试。测试对象为初三年级学生，北京9所中学，天津3所中学，共计629名学生。统计使用因素分析的方法，分成三因素、四因素和五因素。

二、有待研究的问题展望

(一)不同学校的差异研究

以上大部分的研究都是大范围的考查中学生的数学能力结构与成分，而对于在校工作的某一位教师而言，他更注重本校学生的数学能力。不同类型的学校，学生的数学能力结构会有显著差异吗?例如，民办初中的生源好于公办初中；重点高中的生源好于普通高中，那么学生的数学能力是否有显著差异?如果有，主要体现在哪些成分?

(二)培养的目标和日常教学的研究

究竟中学生的数学能力结构应该达到怎样的目标?该如何通过平时的教学去落实、去培养?这些都是值得我们注意和思考的问题。我们当前的数学教学是否过分重视了某些方面的能力而忽视了另一些方面的重要能力呢?比如，我们是否过分重视了运算能力的培养，而忽视了学生问题解决能力的培养?是否过分重视了逻辑思维能力的培养，而轻视了解决实际问题能力的培养?