让数学语言引领“倍”的数学化提炼

罗　颖

摘 要：荷兰数学家弗赖登塔尔认为，高效的数学教育要实现横向数学化和纵向数学化的均衡发展。横向数学化就是把生活实物世界引向数学符号世界，即把普通语言转化为数学文字语言的过程；纵向数学化就是在数学世界里，符号生成、重塑和被使用，即符号语言与文字语言互换，文字语言与图式语言互换，图式语言与符号语言互换过程。本文以此理论为依据，在“倍”的概念教学中进行了卓有成效的尝试，对数学概念的数学化教学具有启迪作用。

关键词：小学数学；倍的意义；数学化

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2009）03-0048-02

北师大版二年级上册数学“倍的意义”是在学习了平均分与除法的基础上进行教学的。“倍”既是生活概念，又是数学语言。作为生活概念的“倍”，教材采取不下概括性的定义，而是结合“快乐的动物”具体情境和解决问题的过程，让学生感受“倍”的意义，体会“倍”与平均分的联系与区别；作为数学用语的“倍”具有高度的抽象性、严密的逻辑性和丰富的内涵，学生认识并理解“倍”需要经历一个数学化的过程。如何引领学生亲身经历数学化的过程，我采取借助“数学语言”转换的方法，取得了较好的教学效果。做法如下：

一、引导对话（把生活普通语言转化为数学文字语言）

普通语言即以普通话为标准的生活语言，它是学生熟悉的。用它表述事物，学生感到亲切、容易理解。通过普通语言转化为文字语言，使抽象的数学语言在现实生活中找到“原型”，从而能透彻理解，运用自如。现行数学教材以反映现实世界的“主题图”形式来呈现学习素材，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育理念。这样“倍”的教学就需要把生活概念的“倍”转化为数学语言的“倍”，才能有效地抽象出“倍”这一概念。其教学片段如下：

师：仔细观察“快乐的动物”这幅图，先统计猴子和鸭子的只数。

生1：猴子3只。（教师用简笔画，在黑板画了3只猴子）

生2：鸭子6只。（教师用简笔画，在黑板3只猴子下面画了6只鸭子）

师：我们把3只猴子看成l份，鸭子的只数有这样的几份？

生：把3只猴子看成l份，鸭子的只数有这样的2份。

师：你们还能用其他的话，把这个意义说出来吗？

生l：猴子有3只，鸭子有2个3只。

生2：猴子有3只，鸭子有6只，鸭子只数是猴子的2倍。（教师板书课题：倍的意义）

上述教学片段，我借助简笔画实物图，在生活语言“把3只猴子看成l份，鸭子的只数有这样的2份”的基础上提炼出“几份”、“几个几”，再抽象出数学语言“倍”，初步揭示了“倍”的含义，实现了从生活语言“几份”向数学语言“几倍”的转换。

二、引导操作（把数学文字语言转换为数学图式语言）

图式语言是一种视觉语言，以图形、图表表示，其特点是直观，便于观察与联想。求倍数关系涉及两个量之间的比较，通过把文字语言转换为图式语言，能够让学生直观明白“倍”是等分活动的扩展。其教学片段如下：

师：继续统计其他每种动物的只数，大家把统计的结果也像老师这样表示出来。

生1：我不会画简笔画。

生2：能用其他方法表示吗？

师：可以用你们自己喜欢的方法表示。

学生动手操作后进行汇报，虽然画法各异，但基本都是以简单图形代替实物：

……

师：你们这样画表示什么意思？请具体说明一下。

生l：我们用▲表示猴子，3个猴子为1份：用◆表示鸭子，每份鸭子只数与猴子一样多，鸭子只数是猴子的2倍。

生2：我们画的意思是用●●为l份，每份一样多，小鸡只数是松鼠的4倍。

师：你们自己说一句“谁是谁几倍”的话，并用桌上信封里的图形或实物（小石子）摆一摆，表示出来。

生1：松鼠的只数是孔雀的2倍。我上行摆了1个，下行摆2个。

生2：小鸟的只数是鸭子的2倍。我上行摆6个，下行摆2个6，共是12个。

生3：小鸟的只数是猴子的4倍。我上行摆3个，下行摆12个，摆成4个3。

生4：小鸟的只数是松鼠的6倍。我上行摆2个，下行摆12个，2个为1份，摆成6份。

……

上述教学片段，我用简笔画表示统计结果为借口，故意为难学生，引发了认知冲突，促使学生用更加方便的图形代替实物简笔画，在上述不同的画法中折射出学生对图形表示“倍”的不同理解。用▲表示猴子，用◆表小鸭子，去除了具体物的属性，初步具有图式意思；用●表示，则完全去除具体物的属性，只保留两个数量之间的关系，表现出较高的图式化水平。将数学文字语言“谁是谁的几倍”转化为数学图式语言，使抽象的数学文字语言形象化，丰富了“倍”的表象，学生通过画—画、摆一摆、分一分、说一说等活功，进一步理解了“倍”的意义，拓展了学生对“倍”的本质内涵的理解。

三、引导提炼（数学图式语言或数学文字语言转化为数学符号语言）

数学学习就是把图式语言和文字语言用符号语言表达出来或借助符号语言来思考，数学概念、法则与定理、公式等往往是只用一种数学语言表述的，而学生要真正理解、掌握和运用它们，则必须能灵活运用三种数学语言进行转换。其教学片段如下：

师：能用比图形更简单的方法把统计结果表示出来吗？

生l：直接用数和算式表示。鸭子只数是猴子的2倍，可以用算式6÷3=2表示。

生2：小鸡只数是松鼠的4倍，可以用算式8÷2=4表示。

……

师：继续统计其他每种动物的只数，直接用数字表示；再自己提出一个可以用除法解决的问题，直接用算式解答。

生l：鸭子6只，松鼠2只，鸭子数是松鼠的几倍？

6÷2=3。

生2：猴子3只，孔雀1只，猴子数是孔雀的几倍？

3÷1=3。

师：说一说你为什么用除法解答？

生3：小鸟12只，孔雀l只，小鸟是孔雀的几倍？就是求12里有几个1，所以用12÷l=12，求得小鸟是孔雀的12倍。

……

上述教学片段，学生能用除法表示倍数关系，实现了数学图式语言和数学文字语言向数学符号语言的转化。

总之，“倍”的教学需要学生经历数学化过程，数学化提炼需要以数学语言的转化为载体，数学语言包括文字语言、符号语言和图式语言。上述“倍的意义”教学，通过生活普通语言向数学文字的转换，完成了横向数学化过程；以不同数学语言形态的文字语言与符号语言、文字语言与图式语言、图式语言与符号语言之间的相互转换，完成了纵向数学化过程。这样，让学生多角度、多层面理解了“倍”的意义，把握了“倍”的外延和内涵，揭示了“倍”的本质。

参考文献：

［1］田奇述.有“数学味”的理性思考［J］.湖南教育（教师版），2006，（1）.

［2］陈明端，田奇述.发展学生“数学语言”交流能力的思考［J］.小学教学研究，2005，（12）.

［3］田奇述.试论小学数学人文教育的渗透［J］.教育实践与研究，2004，（3）.

［4］田奇述.“数学思考”的思考［J］.小学数学参考，2005，（11）.

［5］田奇述.给“数学味儿”把脉［J］.教育实践与研究，2007，（12）.

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