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巧用勾股定理解题

2008-11-11黄海东

关键词:等腰三角勾股定理矩形

黄海东

勾股定理及其逆定理是几何和代数联系的纽带之一.在以后学习到的几何计算及几何证明中,常要利用勾股定理列出方程或方程组来解决问题.本文着重对有关的解题技巧作一些阐述,供读者参考.

有些题目固然能直接应用勾股定理求出某些线段长或列出等式,但离求解的目标还有一定的距离,这时,往往需要与其他数学知识联用.

例1直角三角形一条直角边的长为11,另外两条边的长均为自然数,则该直角三角形的周长为().

A. 121 B. 122C. 132D. 144

分析:本题条件不多,解这类题可利用整数的性质及分解因式,列出方程组进行求解.

解:设斜边长为c,另一直角边长为b,则c2 - b2 = 112 = 121.

故(c - b)(c + b) = 121.因b、c均为自然数,c - b < c + b,故

c - b = 1,c + b = 121.

所以周长为11 + b + c = 11 + 121 = 132,故应选C.

评析:本题也可求出b、c,再求周长.读者不妨思考一下已知的直角边长为合数(比如12)的情形,得到的结果会有许多种,也比较有趣.

在翻折问题中,通常是利用图形翻折的性质(如翻折后有关线段的长度不变,一些角相等等),由勾股定理列出方程,求出有关的量.

例2如图1,将矩形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交 AD于点E.已知AD = 8,AB = 4.求△BDE的面积.

分析:利用翻折图形的对应角相等,对应边相等,得到△BDE为等腰三角形,CD = C′D,从而AE = C′E.要求S△BDE,只要求出BE即可.因此设BE = x,则C′E = 8 - x,由勾股定理可列出方程,从而使问题得到解决.

解:由题意,得C′D = CD = AB = 4,C′B = CB = AD = 8,∠C′BD = ∠CBD = ∠ADB.

∴△BDE为等腰三角形,BE = DE.

设BE = x,则C′E = 8 - x,DE = x.

在Rt△DEC′中,由勾股定理,得(8 - x)2 + 42 = x2.

解得x = 5.所以S△BDE =BE · C′D = 10.

评析:翻折问题中,总是有不少相等的边和角,也有全等的三角形.解题时一定要先找出这些关系.

例3如图2,矩形ABCD中,AB = 3,BC = 9 .将矩形沿EF翻折,使点B落在点D处,A点落在A′处.求BF的长.

分析: 由图形翻折的性质,得到AE = A′E.设AE = x,则DE = 9 - x.在Rt△A′DE中,可用勾股定理列出方程,然后加以解决.

解:由题意,得AE = A′E,A′D = AB = 3,∠DFE = ∠BFE = ∠DEF.

∴△DEF为等腰三角形,DE = DF = BF.

设AE = x,则DE = 9 - x.在Rt△A′DE中,x2 + 32 = (9 - x)2.解得x = 4.

∴BF = DE = 9 - 4 = 5.

评析:矩形的折叠问题中,通过两边平行可得到等腰三角形,如例2中的△BDE和本例中的△DEF.同学们一定要注意这个特点.

有些题目中虽然没有可利用的直角三角形,但探求的结论与勾股定理的形式相似,可通过条件的转化,构造直角三角形解决问题.

例4如图3,在Rt△ABC中,D为斜边AB的中点.DE、DF分别交AC、BC于E、F,DE⊥DF.求证:AE 2 + BF 2 = EF 2.

分析: 虽然 AE、BF、EF不在同一个三角形中,但从结论可以看出,只要把这三条线段集中到某个直角三角形中,问题即可得到解决.

证明:如下页图4,延长ED至P,使DP = ED,连接BP,则△ADE ≌ △BDP(SAS).AE = BP,∠A = ∠DBP.

∵∠A + ∠ABC = 90°,

∴∠FBP = ∠DBP + ∠ABC = 90°.

连接FP.在Rt△FBP中,BP 2 + BF 2 = FP 2.故AE 2 + BF 2 = FP 2.

∵FD为EP的中垂线,

∴FP = FE.AE 2 + BF 2 = EF 2.

评析:当问题中有中线或过中点的线段时,通常会将其延长一倍,以构造全等三角形.

1. 如图5 ,四边形ABCD中,已知∠A = 60°,∠B =∠D = 90°.AB = 2,CD = 1. 分别求BC和AD的长.

2. 如图6,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,∠ACB = ∠DCE = 90°,D是AB边上一点.求证:(1)△ACE ≌△BCD.(2)AD2 + AE2 = DE2.L

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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