巧用勾股定理解题

黄海东

勾股定理及其逆定理是几何和代数联系的纽带之一.在以后学习到的几何计算及几何证明中，常要利用勾股定理列出方程或方程组来解决问题.本文着重对有关的解题技巧作一些阐述，供读者参考.

有些题目固然能直接应用勾股定理求出某些线段长或列出等式，但离求解的目标还有一定的距离，这时，往往需要与其他数学知识联用.

例1直角三角形一条直角边的长为11，另外两条边的长均为自然数，则该直角三角形的周长为（）.

A. 121 B. 122C. 132D. 144

分析：本题条件不多，解这类题可利用整数的性质及分解因式，列出方程组进行求解.

解：设斜边长为c，另一直角边长为b，则c2 - b2 = 112 = 121.

故（c - b）（c + b） = 121.因b、c均为自然数，c - b < c + b，故

c - b = 1，c + b = 121.

所以周长为11 + b + c = 11 + 121 = 132，故应选C.

评析：本题也可求出b、c，再求周长.读者不妨思考一下已知的直角边长为合数（比如12）的情形，得到的结果会有许多种，也比较有趣.

在翻折问题中，通常是利用图形翻折的性质（如翻折后有关线段的长度不变，一些角相等等），由勾股定理列出方程，求出有关的量.

例2如图1，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交 AD于点E.已知AD = 8，AB = 4.求△BDE的面积.

分析：利用翻折图形的对应角相等，对应边相等，得到△BDE为等腰三角形，CD = C′D，从而AE = C′E.要求S△BDE，只要求出BE即可.因此设BE = x，则C′E = 8 - x，由勾股定理可列出方程，从而使问题得到解决.

解：由题意，得C′D = CD = AB = 4，C′B = CB = AD = 8，∠C′BD = ∠CBD = ∠ADB.

∴△BDE为等腰三角形，BE = DE.

设BE = x，则C′E = 8 - x，DE = x.

在Rt△DEC′中，由勾股定理，得（8 - x）2 + 42 = x2.

解得x = 5.所以S△BDE =BE · C′D = 10.

评析：翻折问题中，总是有不少相等的边和角，也有全等的三角形.解题时一定要先找出这些关系.

例3如图2，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 9 .将矩形沿EF翻折，使点B落在点D处，A点落在A′处.求BF的长.

分析： 由图形翻折的性质，得到AE = A′E.设AE = x，则DE = 9 - x.在Rt△A′DE中，可用勾股定理列出方程，然后加以解决.

解：由题意，得AE = A′E，A′D = AB = 3，∠DFE = ∠BFE = ∠DEF.

∴△DEF为等腰三角形，DE = DF = BF.

设AE = x，则DE = 9 - x.在Rt△A′DE中，x2 + 32 = （9 - x）2.解得x = 4.

∴BF = DE = 9 - 4 = 5.

评析：矩形的折叠问题中，通过两边平行可得到等腰三角形，如例2中的△BDE和本例中的△DEF.同学们一定要注意这个特点.

有些题目中虽然没有可利用的直角三角形，但探求的结论与勾股定理的形式相似，可通过条件的转化，构造直角三角形解决问题.

例4如图3，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点.DE、DF分别交AC、BC于E、F，DE⊥DF.求证：AE 2 + BF 2 = EF 2.

分析： 虽然 AE、BF、EF不在同一个三角形中，但从结论可以看出，只要把这三条线段集中到某个直角三角形中，问题即可得到解决.

证明：如下页图4，延长ED至P，使DP = ED，连接BP，则△ADE ≌ △BDP（SAS）.AE = BP，∠A = ∠DBP.

∵∠A + ∠ABC = 90°，

∴∠FBP = ∠DBP + ∠ABC = 90°.

连接FP.在Rt△FBP中，BP 2 + BF 2 = FP 2.故AE 2 + BF 2 = FP 2.

∵FD为EP的中垂线，

∴FP = FE.AE 2 + BF 2 = EF 2.

评析：当问题中有中线或过中点的线段时，通常会将其延长一倍，以构造全等三角形.

1. 如图5 ，四边形ABCD中，已知∠A = 60°，∠B =∠D = 90°.AB = 2，CD = 1. 分别求BC和AD的长.

２. 如图6，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB = ∠DCE = 90°，D是AB边上一点.求证：（1）△ACE ≌△BCD.（2）AD2 + AE2 = DE2.L

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