趣谈勾股定理

钱怀莲

我国古人很早就发现了“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是，在直角三角形中，如果勾为3，股为 4，那么弦为5.所以我国称反映勾、股、弦长度之间的数量关系的一个命题为勾股定理.西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理.

例1如图1，四边形A、B、C、D、E、F、H都是正方形，图中所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形H的边长为7 cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为cm2.

分析：这个图形是勾股树的一部分.根据勾股定理，易得SA + SB = SE，SC + SD = SF，SE + SF = SH .

∴SA + SB + SC + SD = SH = 7 × 7 = 49（cm2）.

解：正方形A、B、C、D的面积之和为49 cm2.

总结：这里的H相当于树干，A、B、C、D、E、F等相当于树枝.还可以向外面继续延伸画勾股树.由以上分析可以知道，对勾股树来说，树枝部分最外面的正方形的面积的和 = 最大的正方形的面积.大家可以思考一个与本题有关的问题，即所有正方形的面积之和是多少.

例2观察下列表格：

请你结合下页表1及相关知识，求出m、n的值.

解：设（a，b，c）为一组勾股数，a < b < c，则a2 + b2 = c2（a、b、c均为正整数）.

观察可知表格中的规律是：当a为奇数时，则b、c是两个连续的正整数，且b + c = a2.

如（5，12，13），则12 + 13 = 52；（7，24，25），则24 + 25 = 72.

所以有132 = 169 = m + n，又m比n小1，所以m + m + 1 = 169，m = 84，n = 85.

总结：（1）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10也是勾股数．

（2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；⑤9，40，41．它们的整数倍也都是勾股数.这些勾股数应当牢记，以便解题时及早发现其中的规律.

（3）设（a，b，c）为一组勾股数，a < b < c，a2 + b2 = c2（a 、b 、c均为正整数）.

①当a为奇数时，则b 、c是两个连续的正整数，且b + c = a2；

②当a为大于4的偶数时，则b、c是两个连续的奇数或偶数，且b + c =a2.

例3学习了勾股定理以后，有同学提出：“在直角三角形中，三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系.”让我们来做做实验!

（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1 mm）.较短的两条边长分别是a = mm，b = mm；较长的一条边长c = mm. 比较a2 + b2（填“>”，“ < ”或“ = ”）c2.

（2）画出任意一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1 mm）.较短的两条边长分别是a = mm，b = mm；较长的一条边长c = mm. 比较a2 + b2（填“>”，“ < ”或“ = ”）c2.

（3）根据以上的操作和结果，结合这位同学提出的看法，你猜想的结论是：.利用勾股定理证明你的结论．

解：（1）、（2）略.

（3）猜想的结论是：△ABC的三边长分别为a、b、c.若△ABC是锐角三角形，则有a2 + b2 > c2；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2 + b2 < c2.证明如下：

①当△ABC是锐角三角形时，如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D.设CD = x，则有BD = a - x.根据勾股定理，得b2 - x2 = AD2 = c2 - （a - x）2.

即b2 - x2 = c2 - a2 + 2ax - x2.故a2 + b2 = c2 + 2ax.

∵a > 0，x > 0，

∴2ax > 0. a2 + b2 > c2.

②当△ABC是钝角三角形时，如图3，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D.

设CD = x，则有BD2 = a2 - x2.

根据勾股定理，得AD2 + BD2 = AB2，（b + x）2 + a2 - x2 = c2．即a2 + b2 + 2bx = c2.

∵b > 0，x > 0，

∴2bx > 0. a2 + b2 < c2.

总结：（3）中得到的结论，可以用来判断一个三角形的形状.若a < b < c，当a2 + b2 > c2时，△ABC为锐角三角形；当a2 + b2 < c2时，△ABC为钝角三角形；当a2 + b2 = c2时，△ABC为直角三角形.Y

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文