化斜为直用勾股

李厚明　陈伯平

勾股定理是直角三角形中特有的定理．它的应用非常广泛，是几何中最重要的计算依据之一．尤其是在新的课程标准下，原有的计算公式及定理少了许多，所以不少问题都要靠勾股定理来解决.对于斜三角形，我们不能直接用它来解决问题，这时就需化斜为直，具体说就是用作高来构造直角三角形．这方面的例子很多，复习中尤其要重视．下面举例加以讲解.

例１ 等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ = ＡＣ = １０，ＢＣ = １２，求ＡＣ边上的高.

分析：等腰三角形最重要的性质是“三线合一”，所以我们可以作底边上的高，求出三角形的面积，再用面积公式求ＡＣ边上的高.也可以直接作ＡＣ边上的高，利用方程求解．

解法１：过Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ．如图１．

由ＡＢ = ＡＣ和ＡＤ⊥ＢＣ知，点Ｄ是ＢＣ的中点，所以ＢＤ = ＣＤ = ６．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，

ＡＤ ＝＝＝ ８．

设ＡＣ边上的高为ｈ，则

Ｓ△ＡＢＣ＝ＢＣ·ＡＤ＝ＡＣ·ｈ．

代入数据可求得ｈ ＝ ９．６，即为所求．

解法２：过点Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为Ｄ．如图２．

设ＣＤ ＝ ｘ ，则ＡＤ ＝ １０ － ｘ．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２ ＝ ＡＢ２ － ＡＤ２．

同理，ＢＤ２ ＝ ＢＣ２ － ＣＤ２．

从而得到方程１０２ － （１０ － ｘ）２ ＝ １２２ － ｘ２．

解得ｘ ＝ ７．２．

所以ＢＤ ＝ ＝ ９．６，即为所求．

点评：解法１，间接求高，巧妙地利用了等腰三角形的性质以及面积公式，运算简单；解法２，直接作高，但由于高不能直接求得，我们可用列方程的方法，先求ＣＤ，再用勾股定理求高，思路简单，但运算较复杂.这两种方法在解题中均经常使用，应给予重视.

例2 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ １０，ＡＣ ＝ ８，∠Ａ ＝ ６０°，求边ＢＣ的长．

分析： 由于∠Ａ ＝ ６０°，ＡＢ ＝ １０，我们可考虑作ＡＣ边上的高ＢＤ，求出ＡＤ、ＢＤ，再求出ＣＤ，最后利用勾股定理求ＢＣ.

解：如图３，过点Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为Ｄ．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠ＡＤＢ ＝ ９０°，∠Ａ ＝ ６０°，

∴∠ＡＢＤ ＝ ３０°．

∴ＡＤ ＝ＡＢ ＝ ５，ＣＤ ＝ ３．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２ ＝ ＡＢ２ － ＡＤ２ ＝ １０２ － ５２＝ ７５．

同理，ＢＣ２ ＝ ＢＤ２ ＋ ＣＤ２．

∴ＢＣ２ ＝ ７５ ＋ ９ ＝ ８４．

∴ＢＣ ＝ ＝ ２ ．

点评：若三角形中有６０°、３０°或４５°的角，但无直角，我们通常都是作高，把这些角放到直角三角形中去.这样可以利用有关的特殊性质（如等腰、直角边是斜边的一半等）去解决问题.

例3 如图４，△ＡＢＣ中，∠Ｂ ＝ ２∠Ｃ．求证：ＡＣ２ － ＡＢ２ ＝ ＡＢ·ＢＣ．

分析： 显然，我们要构造直角三角形，才能得出求证式左边的形式．由此我们可以作ＢＣ边上的高ＡＤ，关键是∠Ｂ ＝ ２∠Ｃ这个条件怎样利用.联想到等腰三角形的“三线合一”，我们可在ＤＣ上截取ＤＰ ＝ ＢＤ，这样可以利用∠Ｂ ＝ ２∠Ｃ，证得ＡＰ ＝ ＣＰ.

证明：如图５，过Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ．在ＤＣ上截取ＤＰ ＝ ＢＤ，连接ＡＰ．

∴∠ＡＤＢ ＝ ∠ＡＤＣ ＝ ９０°， ＡＢ ＝ ＡＰ．

∴∠Ｂ ＝ ∠ＡＰＢ ＝ ２∠Ｃ．

∵∠ＡＰＢ ＝ ∠ＰＡＣ ＋ ∠Ｃ，

∴∠Ｃ ＝ ∠ＰＡＣ．

∴ＡＰ ＝ ＣＰ．

在Ｒｔ△ＡＣＤ中，

ＡＣ２ ＝ ＣＤ２ ＋ ＡＤ２． ①

同理，ＡＢ２ ＝ ＢＤ２ ＋ ＡＤ２．②

① － ②得ＡＣ２ － ＡＢ２ ＝ ＣＤ２ － ＢＤ２．

而ＣＤ２ － ＢＤ２ ＝ （ＣＤ － ＢＤ）（ＣＤ ＋ ＢＤ） ＝ （ＣＤ － ＢＤ）·ＢＣ ＝ （ＣＰ ＋ ＤＰ － ＢＤ）·ＢＣ ＝ ＣＰ·ＢＣ，

∴ＡＣ２ － ＡＢ２ ＝ ＣＰ·ＢＣ．

∵ＣＰ ＝ ＡＰ ＝ ＡＢ，

∴ＡＣ２ － ＡＢ２ ＝ ＡＢ·ＢＣ．

点评：本题实质上是利用高线构造了一对成轴对称的三角形，而这种作辅助线的方法（作ＡＤ、ＡＰ），也是解“α ＝ ２ β”型问题的常用方法．解题关键是边的等量代换.应用代数方法化平方差为乘积式，也是本题的一大亮点.

总之，把斜三角形转化为直角三角形，再运用勾股定理，是斜三角形问题最常见也是最重要的解题思路.L

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文