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用机器证题

2008-11-11张景中彭翕成

关键词:雷米证法平分线

张景中 彭翕成

初中同学中的“数学迷”们,谁不喜欢几何哩.

几何证题,变化万千.看起来似乎难以下手的一道题,只要在图上添上适当的辅助线,往往就云开雾散,妙趣横生.

正因为几何证题变化万千,所以也就不好做.难就难在看不出一般的规律.

例如,在△ABC中,已知AB = AC,∠ABC、∠ACB的平分线为BD、CE.求证BD = CE.如图1,这只要证明△DBC≌△ECB(ASA),问题便可迎刃而解.可是,把已知和求证交换一下,这一换,问题就难多了.

100多年前,德国数学家雷米欧司公开提出了这个问题.他说,几何题在没有证明出来之前,很难说它是难还是易.等腰三角形两底角的角平分线相等,初中学生都会证.可是反过来,已知三角形的两条角平分线相等,要证它是等腰三角形,可就不好证了.

后来,德国著名数学家史坦纳解决了这个问题,使它成为一个定理,叫做史坦纳-雷米欧司定理.

经过名人一做,这个问题也就出了名.有一个数学期刊还曾经公开征求这条定理的证明,收到了形形色色的证法.他们经过挑选和整理,得到了60多种证法,编印成了一本书.

到了20世纪60年代,有人用添圆弧的办法得到了一个十分简单的证法.从雷米欧司提出问题到找到这个简单的证法,竟过了100年之久.而且,人们找到了60多种证法,偏偏没有发现这个简单的证法.可见,几何证题的变化实在是太多了.

几何证题既然这么千变万化,人们自然会想:能不能找到一个固定的方法,不管什么几何题到手,都可以用这个方法一步一步地做下去,最后,或者证明它,或者否定它呢?

19至20世纪的大数学家希尔伯特证明:有一类几何题,可以用一种统一的方法,一步一步地得到最后解答.后来,数学家塔斯基证明:所有的初等几何命题,都可以用机械方法找到解答.可是,他的方法太复杂了,即便是使用高速电子计算机,也只能证明一些很平常的定理.

我国著名数学家吴文俊,提出了用机器证明几何定理的方法.他用到了我国古代的数学思想和方法.用这个方法,可以在计算机上证明许多相当复杂的定理,还能证明高等数学中许多微分几何的定理.

用机器证明几何定理,主要的思路是用坐标方法,把几何问题转化成代数问题来解决.要是你有志将来研究这方面的问题,从现在起就应该好好学习几何、代数和解析几何的基础知识了!

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