数学思想方法在有理数运算中的应用

金枝焕

数学习题浩瀚无边,问题又可变式发散,这样习题就林林总总,题量就千千万万,但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的,它是数学的精髓,是解决问题的有效手段,是制胜的法宝,本文利用有理数的意义及运算为载体,结合一些常见的数学思想方法来简要解答一下习题中经常出现的数学问题.

一､转化思想

所谓“转化思想”就是将“未知”转化为“已知”,将“新知识”转化为“旧知识”,将“复杂问题”转化为“简单问题” ,转化思想是解决数学问题的常见思想方法.

例1 计算:5 - - ÷ -1.

按运算顺序,先算括号里的,需要通分,这样比较麻烦,把后面的除法转化为乘法,利用分配律解答比较简单.

解:原式= --÷ -

= × -- × - -× -

=-3 ++

=-2.

(1)本题利用除法法则,把除法转化为乘法,利用运算律使运算简单.

(2)有理数运算中减法转化为加法,也体现转化思想.

二､分类讨论思想

有时将问题看成一个整体时,则无从下手,若分而治之,各个击破,则能柳暗花明.分类讨论正是这一种思想,也是一种重要的数学思想方法,为了解决问题,将问题所涉及的对象不遗漏地分成若干类问题,然后逐一解决,从而达到最终解决整个问题的目的.

本章中相反数､绝对值､有理数乘方､运算符号法则,有理数的意义都用到了分类的思想.

例2 已知a-2 = 2,a + b = 4,则ab=.

由a-2 = 2,可知a - 2 = 2或a - 2 = -2.故a = 4或a = 0.由a + b = 4可知,当a = 4时,b = 0时;a=0时,b = 4.所以ab = 0.

例3 在-(+4)､-､､-(-1)､0､--中,负数有个,是,非负数有个,是.

数可以分为非负数和负数两大类,非负数包括正数和0.-(+4)､-､--是负数,､-(-1)､0是非负数.

解:3 - (+4)､-､-- 3 ､-(-1)､0

分类必须遵循以下两条原则:(1)每一次分类都要按同一个标准进行;(2)不重复,不遗漏.

三､数形结合思想

“数无形,少直观;形无数,难入微”,利用“数形结合”,可以使所要研究的问题化难为易,化繁为简.

例4 写出绝对值小于3的所有整数.

根据绝对值的几何意义,绝对值小于3的数就是在数轴上到原点的距离小于3的数,如图1.

图1

解:其中的整数有:-2,-1,0,1,2.(数形结合,直观简便)

将数量关系辅助以图形,则更加具体直观､简便,从而快速得到问题的答案.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文