“三视图”类型题例析

刘书妹

“三视图”是指物体的主视图､左视图和俯视图和即分别从正面､左面及上面三个不同方向观察同一物体时,所看到的图形. 有关三视图的题目往往具有一定的难度,但如果能把握三视图的实质及一些解题技巧,则能化难为易,下面就有关三视图的问题归类分析.

一､会画简单立方体组合体的三视图

点拨:画“三视图”的关键是能从正确的方向观察物体,如画主视图,应从正面观察物体,眼睛应与所观察物体的正面正对,而多数学生习惯从正上方观察,这样观察到的图形肯定不准确. 有关三视图所反映几何体的情况如表1(行､列､层可参看图1):

表1

例1 图1中的几何体是由7个同样大小的立方体摆成的,画出它的主视图､俯视图和左视图.

解析:观察几何体,从左向右有3列,每列的最大层数分别为2､1､3;从后向前有2行,每行的最大层数分别为2､3;第一层中有2行3列,从后向前每行分别有1个和3个立方体,或从左向右每列立方体的个数是2､1､1. 因此可画三种视图,如图2.

二､通过俯视图画主视图､左视图

点拨:可直接根据俯视图确定行､列情况,根据俯视图中所标的数字确定每个具体位置(某行､某列)的层数.

例2 图3是由若干个同样大小的立方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置立方体的个数,请画出这个几何体的主视图和左视图.

解析:由俯视图可知,该几何体有3列,从左向右每列的最大层数分别为3､4､2;有2行,从后向前每行的最大层数分别为4､2.因此可画出图4所示的主视图､左视图.

三､由“三视图”推断立体图形

点拨:解决此类问题可通过“在俯视图上标数字”(俯视图上每个位置的数字代表该位置单位几何体的个数)的方法解决.

例3 由若干个同样大小的立方体搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图5,若组成这个几何体的小立方体的块数为n,请写出n的所有可能性.

解析: 由主视图可知,从左向右,每列的最大层数分别为1､2､3,则组成这个几何体的立方体个数最多与最少的情况如图6.

因此,n的最大值为11,最小值为8,n的所有可能性为8､9､10､11.

例4 一张桌子上摆放着若干个碟子,从三个方向看,“三视图”如图7,则这张桌子上共有几个碟子?

解析:此题可以通过“在俯视图上标数字”的方法解决,也可以直接判断.由主视图､俯视图可知,从左向右第2列有3个碟子,再由左视图､俯视图可知从后向前第2行有5个碟子,第1列､第1行的位置有4个碟子,因此共有12个碟子.

四､通过“三视图”求立体图形的表面积

点拨:主视图､左视图和俯视图的面积分别代表了立体图形正面､左面和上面的表面积,由于立体图形前后､左右､上下的表面积分别相同,因此立体图形的表面为:主视图､左视图和俯视图面积和的2倍.

例5 一个物体是由棱长为1的正方体模型堆砌而成的,其“三视图”如图8.请回答下列问题.

(1)该物体共有几层?

(2)该物体的体积是多少?

(3)该物体的表面积是多少?

解析:(1)由主视图､左视图可知,该物体共有2层.

(2)要求该物体的体积,需知道组成该物体的正方体的个数. 可通过“在俯视图上标数字”的方法求得正方体的个数,由主视图､左视图可在俯视图上标数字,如图9.因此组成该物体的正方体的个数为7,该物体的体积为:7 × 1 × 1 × 1 = 7.

(3)据“三视图”可得该物体的表面积为:(4 + 3 + 6)×1×1×2 = 26.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文