浅析正方体的表面展开图

李　彬　秦小红

翻开我们的教材､辅导资料以及各地的中考题,很容易看到有关正方体的表面展开图问题.由于正方体的每一个面都是正方形,所以要确定正方体的各面与其展开图的对应关系,不少同学感到困难.经过探究,我们可以将正方体的表面展开图看做最少2层或3层,按每一层的正方形的个数又可归纳为以下几类(非这些形状时,总可以通过旋转得到).

1. 一层有1个正方形,中间一层有3个正方形,另一层有2个正方形,我们简称它为“一三二”型,共3种,如图1.

图1

2. 一层有1个正方形,中间一层有4个正方形,另一层有1个正方形,简称为“一四一” 型,共6种,如图2.

3. 每层都有2个正方形,简称为“二二二”型,只有1种,如图3.

4. 每层都有3个正方形,简称为“三三” 型,也只有1种,如图4.

综上所述,正方体的表面展开图共11种情况.

仔细观察,可以发现,正方体的表面展开图中,当一层中只有1个正方形时,这个正方形的位置可以任意变动,相邻层间都有一个“日”字状,但没有 “田”字状,这是由于正方体的每个顶点处只有3条棱,一层中没有5个或5个以上的面,否则折叠之后一定会有2个或2个以上的面重叠.

为了记忆方便,我们可以将正方体的表面展开图编成如下口诀:

一三二,一四一,一在同层可任意;

三个二,成阶梯,二个三,日状连,邻层必有日,整体没有田.

例1 观察下列图形,其中不是正方体表面展开图的为().

因为正方体的表面展开图中相邻层都只有1个“日”字状,而选项D中有第一二层间有2个“日”字状,故它不是正方体的表面展开图.

例2 下列各图中,是正方体表面展开图的为().

选项D符合“一四一”的特征,其余均不符合正方体表面展开图的特征.

例3 马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子.他先用5个大小一样的正方形制成图5所示的拼接图形(实线部分),经折叠后发现还少一个面,请你在图5中的拼接图形上再接一个正方形,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.(添加所有符合要求的正方形,添加的正方形用阴影表示.)

由上面的分类可知,有如下几种添加方法.

(1)添加后为“三三”型,如图6;

(2)添加后为“一三二”型,如图7､图8､图9.

例4 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处,一只蚊子在正方体的顶点B处,如图10.现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子,那么它所走的最短路线是怎样的,在图上画出一条来.

将图10中的正方体展开,A､B的位置如图11,连接AB,线段AB就是符合条件的最短路线.在正方体上这样的最短路线不止一条.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文