杯子里的互质数

赵国瑞

匈牙利著名数学家保罗·埃杜斯教授，听说有一个叫路易·波沙的少年，聪明过人，擅长解数学题．埃杜斯教授心想，这是一个难得的人才，我要亲自考验考验他．

埃杜斯教授到了波沙的家中，见到了12岁的波沙．教授给他提了个问题：“从1，2，3直到100中任意取出51个数，那么至少有两个数是互质的．你能说出其中的道理吗？”（两个正整数互质，指的是它们没有大于1的公约数，比如4和9）

波沙稍微想了一下，把父母和教授面前的杯子都移到自己的面前.他指着这些杯子说：“这几只杯子就算50个吧．我把1和2这两个数放进第1个杯子，把3和4两个数放进第2个杯子……这样两个两个地往杯子里放，最后把99和100两个数放进第50个杯子里．我这样放可以吧？”

教授点点头说：“可以，当然可以这样放了．”

波沙又说：“因为我要从1到100中挑出51个数，所以至少有一只杯子里的两个数会全部被我挑走，对吧？而这同一只杯子里的两个数是紧挨着的、连续的，两个连续的正整数必然互质．”

埃杜斯教授笑着说：“你的杯子能喝酒、喝咖啡，还能做题，你这可是多用杯呀！”教授几句幽默话，把大家都逗笑了．

埃杜斯教授追问：“为什么相邻的正整数一定互质呢？”

波沙说：“假设a、b为两个相邻的正整数而又不互质（且b>a），那么a和b必存在着大于1的公约数c.于是a=mc，b=nc，m≠n，从而b-a=（n-m）c.所以c一定是b-a的约数．因为b-a=1，故b-a存在大于1的约数是不可能的！因此，两个相邻的正整数必然互质．”

埃杜斯教授夸奖小波沙：“答得很好！”

……

小波沙在解答埃杜斯教授的问题时，使用了两个数学原理：抽屉原理和反证法．

什么是“抽屉原理”呢？

如果将n+1件物体放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放着2件或2件以上的物体．

这就是抽屉原理.这个抽屉原理是显而易见的，也几乎是不言自明的．

抽屉原理也叫做“鸽笼原理”或“鞋盒原理”，是数学中经常使用的原理．请看下面的问题：

在一所有400名学生的小学里，会有两个小学生的生日相同吗？

1月1日到12月31日可以看做365（或366）个抽屉，而要把400个人的生日往这365（或366）个抽屉里“放”，那么至少有两个人的生日是在同一个抽屉里，也就是说至少有两个人的生日相同．

当然，这个问题比较简单，直接一说就明白了．如果问题稍微复杂一点，在使用抽屉原理时，就要讲究一些方法了．请看下面的问题：

现有9个人，每个人都有一支红蓝双色圆珠笔．每个人用双色圆珠笔写下“爱科学”三个字，每个字必须用同一种颜色写，各个字的颜色是随意的.试说明其中至少有两个人写字颜色是完全相同的（即所写的每个字的颜色都一样）．

如果用0代表红色字，用1代表蓝色字，那么用红蓝两种颜色写“爱科学”三个字，会出现如下8种可能情况：

0，0，0，即红，红，红；1，1，0，即蓝，蓝，红；

1，0，0，即蓝，红，红；1，0，1，即蓝，红，蓝；

0，1，0，即红，蓝，红；0，1，1，即红，蓝，蓝；

0，0，1，即红，红，蓝；1，1，1，即蓝，蓝，蓝．

这8种可能可以看做是8个抽屉.现在有9个人写字，可以看成是要在8个抽屉中装进9件物体．由抽屉原理可知，至少有两个人所写的字的颜色完全相同．