聚焦等腰三角形中的探索型问题

张　雷

近几年的中考数学试题中，与等腰三角形有关的探索型问题已成为热点之一.现举例予以说明.

一、条件补充型

例1（济南）如图1，△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是__.

简析：从确定△ADE是等腰三角形着眼，应添加∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE等条件.

二、结论判断型

例2（南通）如图2所示，△ABC中，∠ACB=90°，△ACE、△CBD都是等边三角形.试判断EC与BD的位置关系，并证明你的结论.

简析：因△ACE、△CBD都是等边三角形，故∠ECA=∠DCB=60°.又因为∠ACB=90°，所以∠ECB=∠ECD=150°.连接EB、ED，如图3.又EC=EC，CB=CD，则△ECB≌△ECD，所以EB=ED，∠DEC=∠BEC.由等腰三角形三线合一的性质知EC⊥BD.

三、辨别改错型

例3（江西）如图4，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点.EB=EC，∠1=∠2.求证：AD⊥BC．

请你先阅读下面的证明过程．

证明：在△AEB和△AEC中，EB=EC，AE=AE，∠1=∠2，

∴△AEB≌△AEC.（第一步）

∴AB=AC， ∠BAE=∠CAE.（第二步）

∴AD⊥BC.（等腰三角形的“三线合一”）

上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．

简析：第一步错误．在△AEB和△AEC中，有两边和其中一边的对角对应相等，并不能判定它们全等．证明思路如下：由EB=EC，得∠EBC=∠ECB.再由∠1=∠2，可得∠ABC=∠ACB，故AB=AC.下同上面证法．

四、条件组合型

例4（扬州） 如图5，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD.

（1）上述三个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？用序号写出所有情形.

（2）请选择（1）题中的某一种情形，证明△ABC是等腰三角形.

简析：（1）有两种情形：①、③，②、③.

（2）以①、③为例.

∵∠EOB=∠DOC，∠EBO=∠DCO，BE=CD，

∴△EBO≌△DCO（AAS）.

∴BO=CO.∠OBC=∠OCB.

由条件∠EBO=∠DCO，

∴∠ABC=∠ACB.△ABC为等腰三角形.

五、实验操作型

例5（天门）在平面内，分别用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表表示如下.请阅读下表后再回答问题.

问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？

（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请在下表中画出它们的示意图.

简析：（1）因为4根火柴只能搭成长为1，1，2的三条线段，而长为1，1，2的三条线段不能构成三角形（因1+1=2），所以4根火柴不能搭成三角形.

（2）在搭的同时要注意三条线段长必须满足三角形三边关系定理.8根火柴可以搭成一个三边长分别为3，3，2的等腰三角形；12根火柴可以搭成一个三边长分别为5，5，2的等腰三角形，也可以搭成一个三边长分别为4，4，4的等边三角形，还可以搭成一个三边长分别为3，4，5的直角三角形.示意图略.

说明：这类搭三角形的题可运用列举法解.先画三个方框.在最左边的第一个方框中依次填上1，2，3，…，在第二个方框中再填入不小于第一个方框的数，然后在第三个方框中填入不小于第二个方框的数.这三个数如果满足前两个之和大于第三个，且这三个数之和为（火柴）总数，那么就可以搭成三角形，否则不能.

六 图形分割型

例6（无锡）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°.试画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．请你选用下面给出的备用图（图6），把不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数.

简析：如图7，有2种不同的分割方法.

说明：此题的解决也提示我们: 遇到与等腰三角形有关的问题时，一定要避免多解、漏解.

七 猜想探究型

例7（南充）如图8，已知△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN.直线BN与AM相交于Q点．

（1）请问：∠BQM等于多少度？

（2）如果M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其他条件不变，如图9所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．

简析：随着几何学习的深入，会出现不少规律探究题.这些题目要求同学们在运动变化中探求图形某些不变的性质或变化的规律．（1）题通过猜想、测量或证明等方法不难发现△ABM≌△BCN，从而∠BMQ=∠BNC，∠BQM=∠AQN=∠ABQ+∠BAQ=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°.而且这一结论在图形发生变化后仍然成立．（2）题的证明思路如下：先证△ACM≌△BAN，得到∠M=∠N，所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°.