一二三四话命题

王艳红

一个核心 “判断”是命题的核心， 是决定一个句子是不是命题的主要依据和重要标准．命题是对一件事情的是非曲直作出明确判断的句子，它可以是数学中对某个结论的判断，也可以是对日常生活中某种现象是否发生的预言与判断．比如，“这个小孩是男孩”这一句话，是对小孩的性别作出了判断，明确地判断出这个小孩是男的．因此，这个句子就是命题．如果把这句话改成“这个小孩好像是男的”，或者“这个小孩不一定是男的”，那么这两句话就都不是命题，因为这两句话都没有对小孩的性别作出明确的判断．当然，如果把这句话改成“这个小孩不是男的”，那么这也是命题，因为它也对小孩的性别作出了明确的判断——不是男的．又如“对顶角相等”这句话，对两个对顶角的大小关系作出了“相等”的判断，因此，它也是命题．

但要注意，命题是一个完整的判断句子．而那些有头无尾或无头无尾，不知所云的句子，虽然有判断，但也不能说它是命题．如“留长发的男人”、“直线平行”、“大于3”等都不是命题．

两个基本点 “题设”和“结论”是命题的重要组成部分，是命题的两个基本点，也是命题的重要特征．任何一个命题都可以写成“如果……那么……”的形式，在“如果”的后面、“那么”的前面这一部分所指的事项，叫做命题的题设，“那么”后面所指的事项称为命题的结论．确定命题的题设和结论时，首先要注意理解该命题的判断对象是什么，条件是什么，判断的结果又是什么．比如，“对顶角相等”这个命题的题设和结论分别是什么？仔细分析，不难发现这个命题是对“对顶角”大小作出的判断，判断的结果是“相等”．这样我们就可以把它写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，至此题设“对顶角”，结论“相等”便水落石出了．又如，“两直线平行，同位角相等”这个命题，它是在“两直线平行”的条件下对同位角的大小作出“相等”的判断，所以题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．

三项无关 命题的核心是判断，而判断有时正确，有时错误，有时无法确定判断究竟是正确还是错误．判断正确的命题叫做真命题，判断错误的命题叫做假命题，正确与否无法判定的命题叫做猜想．真命题、假命题和猜想都是命题．特别要注意假命题也是命题，即使痴人在梦中说“太阳是从西边出来的”，这也是命题．如果说“对顶角不相等”，那么这句话也是命题，只不过是个假命题而已．

说明一个命题是真命题需要进行推理论证，而说明一个命题是假命题只需举出一个反例（满足题设条件，但与结论矛盾的例子）就可以了．比如，为什么说“若｜a｜＝｜b｜，则a＝b”是假命题呢？因为当取a＝3，b＝－3时，符合题设｜a｜＝｜b｜，但此时a≠b，与结论a＝b相矛盾，所以这个命题是假命题．再比如，你如果要说明“九（2）班同学都是女的”这个命题是假命题，那你只要在该班同学中找到一个男同学就可以说明这个命题是假命题．当然，你不能用九（1）班的某某同学是男的来作为理由．猜想既无法推理论证，也无法举出它的反例．

四种形式 常见命题有如下四种形式：

（1） 定义性命题．它是用来阐述概念含义的命题，如“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，它是对“平行线”的意义进行特征性地描述的命题．

（2） 公理性命题．它的正确性是公认的、毋庸置疑的，不需要推理论证，有时也是无法论证的．如“经过两点有且只有一条直线”这个命题，大家都知道它是正确的，你不必去论证，也是无法论证的．

（3） 定理性命题．它的正确性需要用已有的数学概念和结论经过严密的推理论证．如“两直线平行，内错角相等”，其正确性要用如下的推理进行论证．

如图1，已知a∥b，求证：∠1＝∠2．

证明：∵ a∥b（已知），

∴ ∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．

∵ ∠3＝∠1（对顶角相等），

∴ ∠1＝∠2（等量代换）．

（4） 猜想性命题．其正确与否无从考证．比如“地球外有人”这个命题，是真是假还是个谜．说它是真命题吧，至今没有人看到过外星人；说它是假命题吧，浩瀚无穷的宇宙我们知之甚微，谁能确定那数不尽的星球中就没有一个与地球一样的？像这种命题就称为猜想．再比如“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称1＋1）”，是真是假至今尚无人知晓．说它是假命题吧，没有人找出它的反例；说它是真命题吧，又没有人能给出它的证明．这就是著名的哥德巴赫猜想，被誉为是数学皇冠上的明珠．我国著名数学家陈景润为摘取这颗明珠献出了毕生的心血，成为了世界级的大数学家．