关注相似三角形中的“基本图形”

崔跃成

如图1，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.这是一个重要的基本图形，在许多问题中都不难发现它的影子，利用它可以帮助我们顺利地解题.根据图形，结合相似三角形的性质，我们可以得到下面的结论：

（1）Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD.

（2）CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB.

（3）AC·BC=AB·CD（由面积得出）.

下面，我们来看看这些结论的应用.

一、利用基本图形进行计算

例1 如图2，A点坐标为（10，0），B点在第一象限，且OB⊥AB，AB=6.求点B的坐标.

解：过B作BC⊥OA于C，如图3．

在Rt△AOB中，因OA=10，AB=6，由勾股定理知OB=8.

∵ BC⊥OA，

∴ Rt△OBC∽Rt△OAB．

∴ OB2=OC·OA，于是OC===.

又∵ AB·OB=OA·BC，

∴ BC===.

∴ 点B的坐标为

，

.

二、发现基本图形，获取解题途径

例2如图4，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，试说明：AG2 = AF·FC.

分析：通过观察不难发现，由Rt△ABC中BF⊥AC，易得BF 2＝AF·FC，因此仅需证明AG=BF即可.

解：∵ 在矩形ABCD中，E是CD的中点，

∴ △ADE≌△BCE（SAS）.

∴ AE=BE.∠EAB=∠EBA.

又∵ FG∥AB，

∴ ∠EGF=∠EFG.故EG=EF.

∴ AG=BF.

∵ 在Rt△ABC中，BF⊥AC，

∴ BF2=AF·FC，从而AG2=AF·FC.

例3 如图5，直线y=-2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B．试问：在直线y=-x+5上是否存在一点C，使得△ABC是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

解：存在点C．过B作BC⊥AB交直线y=-x+5于点C，如图6，则点C即为所求.

易知A（1，0），B（0，2），所以OA=1，OB=2.

设直线BC与x轴交于D点．

∵ 在Rt△ABD中，OB⊥AD，

∴ OB2=OD·OA.OD==4.故D（-4，0）．

又B（0，2），若设过点D、B的直线的表达式为y=kx＋b，则k（-4）+b=0，

k·0+b=2．

解得b＝2，k=.

∴ 直线BD（即直线BC）的表达式为y=x+2.

于是C点坐标（x，y）满足y=

x+2，

y=-x+5.解得x＝2，

y=3.所以C点坐标为（2，3）.

同理，过A作AC′⊥AB交直线y=-x+5于C′，C′也满足题意．可类似求得C′点坐标为

，

.

综上，C点存在，其坐标为（2，3）或．

三、构造基本图形，顺利解决问题

例4 如图7，在矩形ABCD中，E是AD中点，EF⊥EC且交AB于F，连接FC．问：△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.

分析：分别延长FE和CD，交于点M，如图8．由E是AD中点，易证出△AEF≌△DEM.从而EF＝EM．又易证△ECF≌△ECM.这样，△AEF与△ECF是否相似转化为△DEM与△ECM是否相似．而在Rt△ECM中，ED⊥CM，二者是否相似是显而易见的.请同学们自己写出解题过程.